Trigonometría : ejercicios de matemáticas de 3er grado corregidos en PDF

Ejercicios de matemáticas de 3º curso corregidos

Ejercicios de matemáticas sobre trigonometría en el triángulo rectángulo.

Todos estos ejercicios del tercer ejercicio tienen sus respuestas y puedes descargarlas en formato PDF.

Ejercicio 1 – Perímetro
sabemos que $\widehat{CAB}=50^{\circ}$ ; $\widehat{DBA}=15^{\circ}$ ; $\widehat{ACB}=90^{\circ}$ y $AB=40\,m$ .
Calcula el perímetro del triángulo ABD Redondea el resultado al decímetro más próximo.

Ejercicio 2 – Cable
Se tiende un cable de 20 m de longitud entre la parte superior de un poste vertical y el suelo horizontal.
Forma un ángulo de 40° con el suelo.
a) Calcule la altura del poste; indique por defecto el valor a la décima más próxima.
b) Muestra la situación en la figura a escala 1:200. (Los datos de la situación deben colocarse en la figura).

Ejercicio 3 – Calculadora
1.a. Utilizando una calculadora, calcula (cos67°+sin67°)²+(cos67°-sin67°)² (cos35°+sin35°)²+(cos35°-sin35°)² b. ¿Qué se ve?

Demuestra que para cualquier ángulo agudo x: (cos x+sin x)²+(cos x-sin x)²= 2.

Ejercicio 4 – Triángulo rectángulo y trigonometría
Demuestra que el triángulo SON es rectángulo.

Ejercicio 5 – Cálculo de la tangente y el coseno
es un ángulo tal que $sinx=\frac{5}{8}$ .

Utilizando las fórmulas trigonométricas, calcula los valores exactos de $cos\,x$ y $tan\,x$ .

Ejercicio 6 – Círculo circunscrito
1. Construye un triángulo ABC en C tal que AC = 5 cm y $\widehat{BAC}=40^{\circ}$ .

2. Calcular la longitud BC (se dará un valor redondeado al milímetro más próximo).

3.a) ¿Dónde está el centro O del círculo circunscrito del triángulo ABC?

b) Dibuja este círculo.

4. Deduce la medida del ángulo $\widehat{BOC}$ .

Ejercicio 7 – Medir la altura de una catedral
Esta catedral tiene 140 m de altura.

La cámara está equipada con un objetivo con un ángulo de apertura de 42°.

¿Qué distancia OH se necesita para que la catedral aparezca completamente en el objetivo?

Ejercicio 8 – Trigonometría en el triángulo rectángulo.

Sabemos que AB = 40 m, $\widehat{A}=45^{\circ}$ y $\widehat{B}=25^{\circ}$ .

Se busca la altura SH del torreón.

Sea x = Sh (con x expresado en m).

a. Expresa BH en función de x.

b. Expresa AH en función de x.

c. Dado que AB = 40 m, escribe una ecuación con x como incógnita.

d. Resuelve la ecuación y da la altura de la mazmorra, redondeando al metro más próximo.

Serie 3 de los ejercicios de trigonometría en el triángulo rectángulo en 3er grado. Estos ejercicios detallados sobre el coseno, el seno y la tangente de un ángulo están disponibles para su descarga gratuita en formato PDF en el tercer grado.

Ejercicio 9 – Cubo y trigonometría

En el bloque de arriba a la derecha, se dan EH=69 cm, EF=60 cm y EA=51 cm.
¿Cuál es la medida del ángulo DEA? (redondear a la unidad superior)

Ejercicio 10 – El Mont-Saint-Michel y la trigonometría
Para saber a qué altura llega el arcángel San Miguel

situada en la cima de la abadía del Mont-Saint-Michel, Lisa utiliza un teodolito

para medir ángulos desde la bahía.

Realiza una primera medición y observa la cima de la abadía con un ángulo de 48°.

A continuación, retrocede 50 m y realiza otra medición.

Entonces ve la cima de la abadía en un ángulo de 40°.

Su padre le dice que ahora puede encontrar la altura de la cima de la abadía.

Ayuda a Lisa a realizar este cálculo con ayuda del siguiente diagrama:

Ejercicio 11 – Fórmula Al-kashi
1. Construye un triángulo ABC de tamaño natural tal que AB = 7 cm; BC = 8 cm y AC = 5 cm.

2. ¿Es el triángulo ABC rectángulo? Justifica.

3. El famoso matemático Al-Kashi (siglos XIV- XV) encontró una fórmula entre las tres
lados de un triángulo y el coseno de uno de los tres ángulos del triángulo:

«En un triángulo, sea rectángulo o no, tenemos :
$BC^2\,=\,AB^2\,+\,AC^2\,-\,2\,\times \,AB\,\times \,AC\,\times \,cos\,\,\widehat{BAC}$ . »

Utilizando la fórmula de Al-Kashi, halla la medida del ángulo $\widehat{BAC}$ redondeada al grado más próximo.

Ejercicio 12 – Pendiente de carretera y autopista
Una pendiente del 15% significa que, para un desplazamiento horizontal, uno se desplaza verticalmente 15 m, como se muestra a continuación.

1) En una pendiente del 15%, ¿qué ángulo forma la carretera con la horizontal?

2) Se considera un descenso peligroso en cuanto la pendiente es superior al 10% en carretera y superior al 4% en autopista.

¿A partir de qué ángulo entre la calzada y la horizontal se considera peligrosa una pendiente descendente en carretera?

3)¿Es más peligroso circular por una carretera con una pendiente del 20% o por una autopista con un ángulo de 20 grados respecto a la horizontal? Justificar

Serie 4 de los ejercicios de trigonometría en 3ème con el cos, sin y tan de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Estos ejercicios de tercer grado tienen correcciones detalladas y pueden descargarse e imprimirse en formato PDF.

Ejercicio 13

1. Construye un triángulo IJK tal que :

JK = 8 cm; IJ = 4,8 cm; KI = 6,4 cm.

2. Demuestra que el triángulo IJK es un triángulo rectángulo.

3. Calcula la medida en grados del ángulo $\,\widehat{IJK}$ .

Indique el valor redondeado al grado más próximo.

Ejercicio 14

1. Paul quiere instalar una canasta de baloncesto en su casa.

Debe fijarse a 3,05 m del suelo.

La escalera que utiliza tiene 3,20 m de longitud.

¿A qué distancia del pie de la pared debe colocar la escalera para que su parte superior quede justo a la altura de la cesta?

(Dé un valor aproximado al cm más cercano).

2. Calcula el ángulo que forman la escalera y el suelo. (Dar un valor aproximado al grado más cercano).

Ejercicio 15

Sea ABC un triángulo isósceles con base [BC], [AH] la altura desde el vértice A.

Tenemos : BC = 8 cm y AH = 7 cm.

1. Construye el triángulo ABC y justifica la construcción.

2. Calcula tan(B) .

3. Deduce el valor del ángulo $\widehat{B}$ redondeado al grado más próximo.

Ejercicio 16

ABCD es un rectángulo tal que AB = 7,2 cm y BC = 5,4 cm.

1. Dibuja este rectángulo y su diagonal [AC] a tamaño real.

2. Calcula la medida del ángulo $\,\widehat{ACD}$ redondeado al grado más próximo.

3. Demuestra que los ángulos $\,\widehat{ACD}$ y $\,\widehat{CAB}$ son iguales.

4. La bisectriz del segmento [AC] interseca a la recta (AB) en E.

Localiza el punto E y demuestra que el triángulo ACE es isósceles.

5. Deduce un valor aproximado para la medida del ángulo $\,\widehat{DCE}$ .

Ejercicio 17

La unidad de longitud es el centímetro.

El rectángulo de arriba representa una mesa de billar.

Dos bolas de billar N y B se colocan de forma que: CD = 90; NC = 25; BD = 35.

(Los ángulos son rectos.)

Un jugador quiere golpear la bola N con la bola B a lo largo de la trayectoria BEN, con E entre C y D, de forma que la medida del ángulo $\,\widehat{CEN}$ sea igual a la de $\,\widehat{DEB}$ .

. Sea ED = x.

a. Dar un marco para x.

b. Expresa CE en función de x.

2. En el triángulo BED, expresa $\,tan(\widehat{DEB})$ en función de x.

3. En el triángulo NEC, expresa $\,tan(\widehat{CEN})$ en función de x.

a. Igualando los dos cocientes hallados en la pregunta 2. y 3.,

encontramos la ecuación: 35(90 – x) = 25 x.

No se requiere justificación.

Resuelve esta ecuación.

b. Deduce el valor común de los ángulos $\,\widehat{CEN}$ y $\,\widehat{DEB}$ redondeado al grado.

Ejercicio 18: Cálculo de la medida de un ángulo
Calcula, para cada figura, la medida del ángulo marcado (redondea el resultado al grado más próximo).

Ejercicio 19: Vendée yachts
Los veleros de la Vendée y del Globe están en una isla y se unirán a ella por la noche.
Sus posiciones V y G pueden representarse como se indica en el diagrama de al lado.

Sabiendo que el velero Vendée se encuentra a 800 m de la isla, determina con precisión de un metro la distancia que separa al Globo de la isla y la distancia entre los dos veleros.

Ejercicio 20: Triángulos cruzados
1. Calcule la medida de $\widehat{IGH}$ .

2. Deduce la medida del ángulo $\widehat{EGF}$ .

3. Calcula las longitudes EF y FG a la décima más próxima.

Ejercicio 21: Trigonometría con dos triángulos
Calcula la longitud OM redondeada al milímetro más próximo.

Ejercicio 22: Trigonometría en el triángulo rectángulo
Damos BD = 4 cm , BA = 6 cm y $\widehat{DBC}=60^{\circ}$ .

1. Demuestra que BC= 8 cm.

2. Calcula CD.

Indique el valor redondeado a la décima.

3. Calcula la CA.

4. ¿Cuál es el valor de $tan\widehat{BAC}$ ?

5. Deduce el valor, redondeado al grado más próximo, de $\widehat{BAC}$ .

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