Trigonometría: clave de respuestas a los ejercicios de matemáticas en PDF.

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Respuestas a los ejercicios de matemáticas sobre trigonometría.

Ejercicio 1:

Resuelve las siguientes ecuaciones en $%5D-\pi;\pi%5D$ .

1. $cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

$S=\,\{-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\,\,\}$

2. $sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

$S=\,\{-\frac{\pi}{6};-\frac{5\pi}{6}\,\,\}$

Ejercicio 2:

En este ejercicio, damos :

$cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$

Calcule el valor exacto de $cos(\frac{2\pi}{5})$ y, a continuación, de $cos(\frac{3\pi}{5}).$

así que

$cos\,\,\frac{2\pi}{5}=\,cos^2\frac{\pi}{5}-1$

$cos\,\,\frac{2\pi}{5}=\,\,(\,\frac{1+\sqrt{5}}{4}\,\,)^2-1$

$cos\,\,\frac{2\pi}{5}=\,\frac{1+2\sqrt{5}+5}{16}\,-1$

$cos\,\,\frac{2\pi}{5}=\,\frac{1+2\sqrt{5}+5-16}{16}$

$cos\,\,\frac{2\pi}{5}=\,\frac{2\sqrt{5}-10}{16}$

${\color{DarkRed}\,cos\,\,\frac{2\pi}{5}=\,\frac{\sqrt{5}-5}{8}\,}$

Sugerencia: para $cos\,\,\frac{3\pi}{5}$ , utilice la fórmula de adición con $x=\frac{\pi}{5}$ y $y=\frac{2\pi}{5}$ .

Ejercicio 3:

En este ejercicio se dispone de los siguientes datos: $tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}.$

1. Dejemos $x\in%5D0;\frac{\pi}{2}%5B$ . Demuestra que $tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{tanx}.$

$tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{sin(\frac{\pi}{2}-x)}{cos(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{cosx}{sinx}=\frac{1}{tanx}$

2. Deduce que :

$tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3}.$

Utiliza la igualdad en 1. tomando $x=\frac{\pi}{12}$

$tan(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12})=\frac{1}{tan\frac{\pi}{12}}$

así que $tan(\frac{6\pi}{12}-\frac{\pi}{12})=\frac{1}{tan\frac{\pi}{12}}$

$tan(\frac{5\pi}{12})=\frac{1}{tan\frac{\pi}{12}}$

y utilizando los datos de la declaración :

$tan(\frac{5\pi}{12})=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Multipliquemos por la cantidad conjugada y utilicemos la identidad notable .

$tan(\frac{5\pi}{12})=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

$tan(\frac{5\pi}{12})=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}$

$tan(\frac{5\pi}{12})=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}$

$tan(\frac{5\pi}{12})=\frac{2+\sqrt{3}}{1}$

Conclusión: $tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3}.$

Ejercicio 4:

Resuelve en $%5D-\pi;\pi%5D$ la ecuación: sen(2x) = cos(x).

Es una ecuación de producto.

Un producto de factores es cero si y sólo si al menos uno de los factores es cero.

$cosx=0\,ou\,sinx=\frac{1}{2}$

$S=\,\,\{\,-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\,\}$

Ejercicio 5:

Resuelve en $%5D-\pi;\pi%5B$ las siguientes ecuaciones:

Pista: haz cambios de variable y utiliza fórmulas trigonométricas.

Para 1, pon X=cosx.

$1.2cos^3x-7cos^2x+2cosx+3=0.\\2.2sin^3x+cos^2x5sinx-3=0.$

Ejercicio 6:

Resuelve en $\mathbb{R}$ la ecuación :

Pongamos

Tenemos que resolver :

Una raíz obvia es X = 1.

a = 2

-c=8 entonces c= -8

c-b=7 entonces -8-b=7 entonces b=-8-7=-15

Así que

Calculemos el valor del discriminante :

$\Delta\,=(-15)^2+4\times \,2\times \,8=289$

El discriminante es positivo, por lo que hay dos raíces reales distintas.

$X_1=\frac{15+17}{4}=8\,,\,X_2=\frac{15-17}{4}=-\frac{1}{2}$

así que

$2X^3-17X^2+7X+8=(X-1)(X-8)(x+\frac{1}{2})$

por lo que obtenemos :

$sinx=-1\,ou\,sinx=8\,ou\,sinx=-\frac{1}{2}$

o $-1\leq\,\,sinx\,\leq\,\,1$

así que

$sinx=-1\,ou\,\,sinx=-\frac{1}{2}$

Conclusión:
$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\,ou\,\,x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\,ou\,\,x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$

Ejercicio 7:

Ejercicio 8:

Ejercicio 9:

Ejercicio 10:

ABC es un triángulo con $BC=4,\widehat{B}=\frac{\pi}{4};\widehat{C}=\frac{\pi}{3}$ .

1. Demuestre que $sin\,\,\,\widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

2. Calcula los valores exactos de AB y AC .

Indicaciones:

Utiliza las fórmulas de Al-Kashi y el teorema de Pitágoras generalizado.

Ejercicio 11:

Demuestre que la representación gráfica de la función definida en $\mathbb{R}$ por :

se encuentra entre las rectas de ecuación y = – 3 e y = 1 .

Todo esto se debe a $-1\leq\,\,sinx\leq\,\,1$ y $-1\leq\,\,cosx\leq\,\,1$ .

Sólo tienes que sumar a cada miembro.

Ejercicio 12:

Demuestre que para cualquier real :

Utilicemos la identidad notable

$cos^4x-sin^4x=cos(2x)\times \,1$ como y

Conclusión: ${\color{Blue}\,cos^4x-sin^4x=cos(2x).}$

Ejercicio 13:

Utilizando las fórmulas de adición, calcula el valor exacto de $sin(\frac{7\pi}{12})\,et\,cos(\frac{7\pi}{12}).$

$sin(\frac{7\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{12})$

$cos(\frac{7\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})=-sin(\frac{\pi}{12})$

Ejercicio 14:

Sea ABC un triángulo cualquiera.

En los triángulos AEB y BEC rectángulos en E ,

aplicando el teorema de Pitágoras:

$\,\{\,h^2=c^2-x^2\\h^2=a^2-(b-x)^2\,.$

por lo que por igualdad deducimos que :

(*)

En el triángulo AEB rectángulo en E, utilizando la trigonometría rectángulo :

$cos(\alpha\,)=\frac{x}{c}$

así que

$x=c\times \,cos(\alpha\,)$

Tomemos la igualdad (*)

${\color{DarkRed}\,c^2=a^2-b^2+2bc\times \,cos(\alpha\,)}$

Nota: estas son las mismas demostraciones para las otras fórmulas de Al-Kashi,

que también se conocen como fórmulas pitagóricas generalizadas.

Ejercicio 15:

$\frac{sin3x}{sinx}+\frac{cos3x}{cox}=\frac{sin3x\times \,cosx}{sinx\times \,cosx}+\frac{cos3x\times \,sinx}{cox\times \,sinx}$

$=\frac{sin3x\times \,cosx+cos3x\times \,sinx}{sinx\times \,cosx}$

$=\frac{sin(3x+x)}{sinx\times \,cosx}$

$=\frac{sin(4x)}{\frac{sin(2x)}{2}}$

$=2\frac{sin(4x)}{sin(2x)}$

$=2\frac{2sin(2x)cos(2x))}{sin(2x)}$

${\color{DarkRed}=4cos(2x)}$

Ejercicio 16:

Ejercicio 17:

Ejercicio 18:

Ejercicio 19:

Respuestas a los ejercicios de trigonometría de 1º de primaria.

Después de consultar las respuestas a estos ejercicios de trigonometría en 1ère, puedes volver a los ejercicios en première.

Los ejercicios del primer año.

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