Raíz cuadrada: ejercicios de matemáticas en 2º de bachillerato corregidos en PDF.

ejercicios de matemáticas en 2º curso

Ejercicios sobre raíces cuadradas en segundo de bachillerato para asimilar todas las propiedades de la raíz cuadrada y su definición. Esta lista de ejercicios va acompañada de respuestas detalladas para practicar y repasar en línea como preparación para un examen. También puede descargar en PDF o imprimir estos documentos gratuitos para el segundo nivel (2de).

Ejercicio 1:

Planteamos $\,E=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-8\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$ .

Escribe E en la forma $\,a+b\sqrt{5}$ .

(a y b son números relativos) .

Ejercicio 2:

Calcula D y E y da los resultados en la forma $\,a\sqrt{b}$ donde a y b son números enteros con b lo más pequeño posible.

$\,D=2\sqrt{12}-5\sqrt{27}+7\sqrt{75}$

$\,E=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5$

Ejercicio 3:

Damos :

$\,A=\sqrt{12}+5\sqrt{75}-2\sqrt{27}$

$\,B=(5+\sqrt{3})^2-(2\sqrt{7})^2$

Escribe A en la forma $\,a\sqrt{3}$ y B en la forma $\,b\sqrt{3}$ donde a y b son dos enteros relativos.

Ejercicio 4:

Planteamos :
$\,a=\sqrt{3}(1+\sqrt{6})\,;\,\,b=3-\sqrt{6}$

1. Calcula a², b² y a²+b² .

2. Demuestra que a²+b² es un número entero.

3. Si a y b son las longitudes de los lados del ángulo recto de un triángulo, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

Ejercicio 5: Una habitación rectangular.
Una habitación rectangular cuya longitud es el doble de su anchura tiene una superficie de 12,5 m².
¿Cuáles son sus dimensiones?

Ejercicio 6: raíz cuadrada y gcd.

1. Sin calcular su DGC, explica por qué los números 648 y 972 no son primos entre sí.

2. a. Calcula el GCD ( 972 ; 648 ) y explica el método utilizado.

b. Demuestre que $\sqrt{648}+\sqrt{972}=18(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ .

Ejercicio 7: Teorema de Pitágoras.

Considera la siguiente figura, tenemos (KH) // (AB).

a. calcula los valores exactos de AC y AB.

b. Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en A.

c. Calcular el valor exacto de KH.

Ejercicio 8

Cálculo mental
$\,\sqrt{1}\,,\,\sqrt{0,04}\,,\,\sqrt{64}\,,\,\sqrt{10000}\,,\,-\sqrt{36}$ .

Ejercicio 9

Un estudiante escribió:
$\,\sqrt{14}=7\,,\,\sqrt{9}=3\,$

Tiene razón, (estar justificado).

Ejercicio 10
¿Los siguientes números son iguales a 3 o a – 3?

$\,{\sqrt{3}}^2\,,\,-\sqrt{9}\,,\,(-\sqrt{3})^2\,,\,-\sqrt{3^2}\,,\,\sqrt{(-3)^2}\,,\,-{\sqrt{3}}^2$ .

Ejercicio 11
a. Un cuadrado tiene un área de 13 cm².

b. Un cuadrado tiene una longitud lateral de $\,\sqrt{6}$ cm.

¿Cuál es su superficie?

Ejercicio 12
Simplificar :

$\,\sqrt{4}\times \sqrt{9}\,,\,\sqrt{0,01}\times \sqrt{225}\,,\,\sqrt{2^2\times \,3^2\times \,5^2}\,,\,\sqrt{\frac{4}{9}}\,,\,\sqrt{\frac{100}{81}}\,,\,\sqrt{\frac{30}{7}}\times \,\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{40}}$ .

Ejercicio 13
a. Escribe las siguientes expresiones en la forma $\,a\sqrt{b}$ :

$\,\sqrt{8}\,,\,\sqrt{54}\,,\,\sqrt{500}\,,\,\sqrt{0,07}\,,\,-\sqrt{125}$ .
b. Escribe en la forma $\,a\sqrt{7}$ ( a entero) :

$\,A=\,\sqrt{63}\,+\,2\sqrt{28}\,-\,\sqrt{700}$
$\,B=\,2\sqrt{28}\,-\,\sqrt{175}$

Ejercicio 14
Desarrollar y reducir :
$\,A=\,(\sqrt{5}\,+\,\sqrt{7})^2$
$\,B=\,(\sqrt{7}\,-\,1)^2$
$\,C=\,(2\sqrt{2}-3)(2\sqrt{2}+3)$

Ejercicio 15

Demuestre que E = 0.
$\,E=\,3\sqrt{54}-7\sqrt{6}-\sqrt{2}\times \,\sqrt{12}$

Ejercicio 16: Rectángulo áureo.
Un rectángulo se denomina rectángulo áureo cuando el cociente entre su longitud y su anchura es igual a la proporción áurea.

1. Construye un cuadrado ADEF de lado 6 cm.

Coloque la I central de [DE].

Dibuja un arco de circunferencia con centro I, radio IF, como en la figura siguiente.

Completa la construcción como se indica a continuación.

2. Demuestra que ABCD es un rectángulo áureo.

Ejercicio 17: simplificación de raíces cuadradas.
Damos : $A=\sqrt{300}-4\sqrt{27}+6\sqrt{3}\\B=(5+\sqrt{3})^2\\C=(3\sqrt{2}+\sqrt{5})(3\sqrt{2}-\sqrt{5})$

a) Escribe A en la forma $a\sqrt{3}$ , donde a es un número entero.
b) Escribe B en la forma $e+f\sqrt{3}$ , con e y f enteros.

c) Demuestra que C es un número entero.

Ejercicio 18: igualdad compleja
Demuestra, sin utilizar la calculadora, que :

$\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}=2\sqrt{33}+11$

Ejercicio 19: desarrollo y expresión compleja
Desarrollar y dar el resultado como

lo más simplificada posible.

$K=2\sqrt{5}\times \,(3\sqrt{5}-1)-(3\sqrt{5}+2)\times \,(3\sqrt{5}-2)$

Ejercicio 20: Expande y reduce esta expresión.
A = (27 -9)(27 )+9

Ejercicio 21: Puntos alineados.
Sean tres puntos O, U e I tales que: $UI=\sqrt{63}$ ; $OU=\sqrt{343}$ y $OI=\sqrt{700}$ .

¿Están alineados los puntos O, U e I? Justifica.

Ejercicio 22: Expandir y reducir raíces.
Expande y reduce las siguientes expresiones y da el resultado en la forma $a+b\sqrt{c}$ ,

donde a y b son números enteros relativos y c es un número entero positivo.

$D=\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)$

$E=\sqrt{2}(\sqrt{2}-5)-7\sqrt{2}$

Ejercicio 23: Geometría.
Expresa las áreas de estos tres rectángulos como $a+b\sqrt{5}$

(donde y son números enteros).

Ejercicio 24: Campana de queso y medio círculo.
se dispone de una campana de queso, que es una media esfera de 9 cm de radio. ¿Cuál es la altura máxima de un queso en forma de cilindro de 7 cm de radio que puede caber bajo esta campana?
Explícate.

Ejercicio 25: estudio de un cubo.
ABCDEFGH es un cubo con una longitud de arista de 4 cm.

a. Calcula el valor exacto de GD y escribe el resultado en la forma $a\sqrt{2}$ con un número entero.

b. ¿Cuál es el perímetro del triángulo BDG?

Dé el resultado en la forma $a\sqrt{2}$ con un número entero.

c. Calcula el valor exacto de GK.

d. Calcula el área del triángulo BGD.

Indique el valor exacto y, a continuación, un valor redondeado a la centésima.

Ejercicio 26: Espiral de Teodoro de Cirene.
Fíjate en la siguiente figura.

a. Sabiendo que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo isósceles en A, calcula el valor exacto de BC.

b. Utilizando la figura de abajo y la pregunta a, calcula los valores exactos de DB y EB.

Ejercicio 27: diagonales de un cuadrado.
Considera un cuadrado ANIM.

a. Calcula la longitud exacta de la diagonal AI del cuadrado MANI.

b. Si $AN=a\,(a>0)$ , ¿cuál es la longitud AI?

Ejercicio 28: áreas de triángulos.
A partir de los datos de la figura, determina el área del triángulo ABC.

No se respetan las proporciones.

Ejercicio 29: desarrollo de un producto.
Desarrollar y reducir: $(\sqrt{2}+3)(4-5\sqrt{2})$ .

Ejercicio 30: Expandir usando identidades notables.
$A=(1+\sqrt{2})^2$

$B=(2\sqrt{3}+4)^2$

$C=(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})$

$D=(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$

Ejercicio 31: Simplificación.
Simplifica las siguientes expresiones en la forma $a\sqrt{b}$ , donde a es un entero relativo y b es el menor entero posible.

$A=8\sqrt{7}-2\sqrt{28}+\sqrt{112}$

$B=2\sqrt{24}-3\sqrt{96}+9\sqrt{294}$

Ejercicio 32: Caracol pitagórico.

Utilizando el diagrama de al lado, dibuja un segmento

longitud $\sqrt{8}$ cm.

Explique su razonamiento.

Ejercicio 33: Funciones numéricas
Consideremos la función h tal que

1. Calcula la imagen de 1 mediante la función h.

2. Calcular la imagen de $\sqrt{2}$ mediante la función h.

3. Calcular la imagen de $2\sqrt{3}$ mediante la función h.

Ejercicio 34: Volúmenes en el espacio.
Un vaso de forma cónica tiene una altura de 11 cm.

¿Cuál es el valor exacto de la longitud de su diámetro, en cm, para que sea

contiene 25 cL?

Ejercicio 35: Diagonales de un ciervo volante.

Ejercicio 36: estudio de un cuadrado.
Considere la siguiente figura. La unidad es el centímetro.

a. Escriba $5\sqrt{12}-\sqrt{75}$ de la forma $a\sqrt{b}$ , donde y son números enteros relativos, siendo el menor posible.

b. ¿Cuál es la naturaleza exacta de ABCD? Justifique su respuesta.

c. determinar el perímetro de ABCD de la forma más sencilla posible.

A continuación, indique el redondeo al milímetro más próximo.

d. Determina el valor exacto del área de ABCD.

Ejercicio 37: simplificación de raíces cuadradas.
Escribe en la forma $a\sqrt{3}$ , siendo a un número natural:

$A=\sqrt{27}+7\sqrt{75}-\sqrt{300}$ .

Escribe en la forma $p+m\sqrt{3}$ donde m y p son números enteros relativos:

$A=(3\sqrt{3}-2)(4-\sqrt{3})$

Ejercicio 38: raíces cuadradas.
Ponga los siguientes números en el formulario $a\sqrt{b}$

donde y son números enteros y es el más pequeño posible.

$t=\sqrt{96}\,\,\,;\,\,\,u=\sqrt{108}\,\,\,;\,\,\,v=\sqrt{162}$

Ejercicio 39: cálculo con raíces.
Pon los siguientes números en la forma $a\sqrt{5}$ .

$x=\sqrt{125}\,\,\,;\,\,\,y=\sqrt{500}\,\,\,;\,\,\,z=\sqrt{80}$

Ejercicio 40: volumen de un prisma.
Calcular el volumen de un prisma recto de altura $\sqrt{20}$ cm y base un triángulo de dimensiones: 1 cm; 3cm y $\sqrt{10}$ cm .

Escribe el resultado en la forma $a\sqrt{b}$ ( donde y son números enteros ) .

Ejercicio 41: Teorema de Tales.
Las líneas (AB) y (ED) son paralelas.

$BC=\sqrt{5}$ ; $CD=\sqrt{3}$ y .

Las longitudes se expresan en centímetros.

Calcula la longitud del segmento [AC].

Ejercicio 42: ecuaciones del tipo x²=a.
Resuelve las siguientes ecuaciones (justifica tus respuestas):

a) 3x² =75

b) x²= -36

c) 25x² =4

d) 49x² = -64 e) x²+9=0

f) 27x² = 12

Ejercicio 43: fracciones y productos de raíces cuadradas.
Calcula el siguiente producto y da el resultado de la forma más sencilla posible.

$A=\frac{3\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+2}\times \,\frac{-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-2}$

Ejercicio 44: problema de la raíz cuadrada.
Sea a= $\sqrt{5}$ (1- $\sqrt{2}$ ) y b=5+ $\sqrt{2}$ .

a. Calcula a² y b².

b. Deduce los valores de a²+b² y $https://mathovore.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?|sqrt{a²+b²}$ .

Ejercicio 45: raíz cuadrada y rectángulo.
ABCD es un rectángulo tal que :

$AB=(\sqrt{27}+\sqrt{3})\,\,cm$ y $BC=\sqrt{48}\,\,cm$ .

a) Demuestra que ABCD es un cuadrado.

b) calcula su perímetro y su área.

Ejercicio 46 :

Simplifica las siguientes expresiones en la forma $a\sqrt{b}$ , donde a es un entero relativo y b es el menor entero posible.

$A=8\sqrt{7}-2\sqrt{28}+\sqrt{112}$

$B=2\sqrt{24}-3\sqrt{96}+9\sqrt{294}$

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