Funciones lineales: clave de respuestas a los ejercicios de matemáticas de 3ème.

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Clave de respuestas a los ejercicios de matemáticas de 3ème sobre funciones lineales.

Calcular imágenes y priors. Trabajo sobre la curva de una función lineal y utilización de una tabla de valores.

Ejercicio 1:
Sea f una función lineal: x 1,2x.

a. Calcula f(5); f(- 1,2); f(0); f(100).

f(5)=1,2×5=6; f(-1,2)=- 1,44; f(0)= 0; f(100 ) = 120

b. Calcula los números x cuyas imágenes son 2400; -45.

$x=\frac{2400}{1,2}=200$

$x=\frac{-45}{1,2}=-37,5$

Ejercicio 2:
Sea g la función lineal tal que g 😡 – 0,4x.

a. ¿Cuál es el coeficiente de la función g?

a = – 0,4

b. Calcula las imágenes de 10; – 5 y 1.

g(10) = – 4; g(-5)=2; g(1) = -0,4

Ejercicio 3:
Sabemos que 18 tiene la imagen de 23 por la función f y que 12 tiene la imagen de 14 por f.

¿Es f una función lineal?

Compare $\frac{23}{18}$ y $\frac{14}{12}$ :

$23\times \,12=276\,\,14\times \,18=252$

Las fracciones no son iguales por lo que no es una función lineal.

Ejercicio 4:

Expresa la función lineal f en la forma $x\mapsto \,\,\,ax$ (el número a está por determinar), luego calcula f(0); f(1) y f( – 2).

1. Cuando la imagen de 10 es – 3.

Tenemos $a=-\frac{3}{10}=-0,3$ por lo que f es tal que .

2. Cuando f (- 100)= – 46.
Tenemos $a=\frac{-46}{-100}=0,46$ por lo que f es tal que .

3. Cuando el coeficiente de f es 2,5.
Tenemos f que se define por .

Ejercicio 5:

En un sistema de referencia, basta con conocer las coordenadas de un único punto (cuya abscisa sea distinta de cero) perteneciente a la curva de una función lineal para dibujarla.

a. Para $f:x\,\mapsto \,\,\,2,5x$ .

Tenemos f(2)=2,5×2 = 5 por lo que la curva pasa por el punto A(2;5).

b. Dibuja la recta d con ecuación y = 1,2x, anotaremos esta función h.
Tenemos que h(5)=1,2×5=6 por lo que la curva pasa por el punto B ( 5 ; 6).

c. Dibuja la recta d’ que representa la función lineal g con coeficiente a = – 2.

Tenemos g(1)= – 2 por lo que la curva pasa por C(1;- 2).

He aquí las curvas de estas tres funciones lineales:

Ejercicio 10:
Aquí están las curvas de estas cinco funciones lineales.

y=2,5x es (d1)

y= – 3x es (d5)

$y=-\frac{1}{3}x$ ets (d3)

$y=\frac{1}{3}x$ es (d2)

$y=-\frac{5}{4}x$ es (d4)

Ejercicio 14:

f es una función lineal. Determina la expresión para f(x)

$f(\frac{12}{5})=\frac{8}{5}$

f es del tipo .

$f(\frac{12}{5})=a\times \,\frac{12}{5}=\frac{8}{5}$

$a=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{8}{5}\times \frac{5}{12}=\frac{8:4}{12:4}\,=\frac{2}{3}$

Conclusión: ${\color{DarkRed}\,f(x)=\frac{2}{3}x}$

Ejercicio 15:

a) Sea: x el precio inicial de un artículo e: y su precio final tras una subida o bajada. ¿Cuál es el porcentaje de aumento o disminución en cada uno de los casos siguientes? (1): y = 1,4x

$1,4=1+0,4=1+\frac{40}{100}$

Esto supone un aumento del 40%.

(2): y = 0,5x

$0,5=1-0,5=1-\frac{50}{100}$

Se trata de una reducción del 50%.

(3): y = 0,9x

$0,9=1-0,1=1-\frac{10}{100}$

Se trata de una reducción del 10%.

(4): y = 1,05x

$1,05=1+0,05=1+\frac{5}{100}$

Esto supone un aumento del 5%.

Ejercicio 16:

1. Un artículo A cuesta 65 euros. Su precio aumenta un 5%.

¿Cuánto cuesta después de este aumento?

El multiplicador es $k=1+\frac{5}{100}=1,05$ .

$65\times \,1,05=68,25$

El precio final es de 68,25 euros.

Un objeto B cuesta 88 euros tras un incremento del 10%.

¿Cuál era su precio antes de esta subida?

El multiplicador es $k=1+\frac{10}{100}=1,1$ .

$\frac{88}{1,1}=80$

El precio antes de la subida es de 80 euros.

Un artículo C cuesta 45 euros. Tras un aumento, el precio es de 50,40 euros.

¿Cuál es el porcentaje de este aumento?

El multiplicador es $k=\frac{50,40}{45}=1,12=1+0,12=1+\frac{12}{100}$

El aumento fue del 12%.

Ejercicio 17:

El director de una tienda de ropa decide bajar sus precios un 15%.

a) ¿Cuál es la función lineal que modela esta disminución?

La función lineal que modela un descenso del 15% es f(x)=0,85x .

b) ¿Cuál es el nuevo precio de un pantalón que costaba e70 antes de esta rebaja?

f(70)=0,85×70=59,5 euros

c) ¿Cuál es el precio antiguo de un jersey que cuesta 50,12 euros después de esta reducción?

Buscamos x tal que f(x)=50.12

por lo tanto 0,85x=50,12

$x=\frac{50,12}{0,85}$

Conclusión: el precio antiguo del jersey era de 56 euros.

Ejercicio 18:

Consideremos la función lineal f con coeficiente – 5.

Entonces tenemos f(x)= – 5x

Calcula la imagen por f de los siguientes números:

a) 0

f(0)=0 (f es una función lineal).

b) 3

$f(3)=-5\times \,3=-15$

c) – 2

$f(-2)=-5\times \,(-2)=10$

d) $\frac{3}{7}$

$f(\frac{3}{7})=-5\times \,(\frac{3}{7})=-\frac{15}{7}$

e) $-\sqrt{3}$

$f(-\sqrt{3})=-5\times \,(-\sqrt{3})=5\sqrt{3}$

Ejercicio 19:

Para cada función, indique si es lineal y, en caso afirmativo, su coeficiente.

a) $f:x\,\mapsto \,3,5x$

Es lineal con coeficiente a= 3,5 .

b) $g:x\,\mapsto \,2+x$

no es lineal, es una función afín.

c) $h:x\,\mapsto \,7x^2$

no es lineal, es una función cuadrada.

d) $i:x\,\mapsto \,-x$

es lineal con coeficiente a= – 1 .

e) $j:x\,\mapsto \,5$

no es lineal, es una función constante.

f) $k:x\,\mapsto \,\frac{5x}{3}$

es lineal con un coeficiente $a=\frac{5}{3}$ .

Ejercicio 20:

Un producto de factores es cero si y sólo si al menos uno de los factores es cero.

$x=0\,\,ou\,\,x-4=0$

$x=0\,\,ou\,\,x=4$

Conclusión: Los números 0 y 4 tienen la misma imagen por V1 y V2 .

Ejercicio 21:

Sea f la función lineal definida por: $f:\,x\,\mapsto \,-2x$ .

1. Calcula f(3), f( – 2), f(7).

$f(3)=-2\times \,3=-6$

$f(-2)=-2\times \,(-2)=4$

$f(7)=-2\times \,7=-14$

2. ¿Cuáles son las imágenes por f de – 1, 6, $\frac{3}{2}$ ?

$f(-1)=-2\times \,(-1)=2$

$f(6)=-2\times \,6=-12$

$f(\frac{3}{2})=-2\times \,\frac{3}{2}=-3$

3. Encuentra el número cuya imagen es 7.

$x=-\frac{7}{2}$

${\color{DarkRed}\,x=-3,5}$

La clave de respuestas a los ejercicios de matemáticas sobre funciones lineales en 3ème.

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Los ejercicios del tercer año .

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