Annales du bac de maths 2023 con extractos del bachillerato.

Numerosos ejemplos de ejercicios para el bachillerato 2023 clasificados por capítulos.

Estos ejercicios de muestra te permiten repasar el bachillerato de los institutos para prepararte en las mejores condiciones.

Además de todas las materias del bachillerato de matemáticas de las sesiones anteriores, Mathovore pone a su disposición extractos de materias que apuntan a cada capítulo del programa de terminale.

Funciones numéricas

Consideremos la aplicación f de $\,\mathbb{R}$ a $\,\mathbb{R}$ definida por :

si $\,x\in\,%5B0;2%5B\,,\,\,f(x)=x^2(2-x)$ ;

y para todos los $\,x$ de $\,\mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x)$ .

1. Estudia la restricción $\,f_0$ de f al intervalo [0;2] y construye la curva representativa de $\,f_0$ .

¿Cómo podemos derivar la curva representativa de la restricción de f al intervalo [2n;2n+2] donde n es un elemento de $\,\mathbb{Z}$ .

2. Demuestra que :

Si $\,x\in\,%5B2n;2n+2%5D\,,\,\,f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).$

3. ¿Es f continua en $\,\mathbb{R}$ ?

4. ¿Es f derivable en $\,\mathbb{R}$ ?

Secuencias numéricas

Sean $\,(U_n)$ y $\,(V_n)$ las sucesiones definidas para cualquier número natural n por :

$\,U_0=9\,,\,U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n-3\,,\,V_n=U_n+6$

1.a. Demuestre que $\,(V_n)$ es una sucesión geométrica con términos positivos.

b. Calcule la suma $\,S_n=\sum_{k=0}^{n}V_k$ en función de n y obtenga la suma $\,S'_n=\sum_{k=0}^{n}U_k$ en función de n .

c. determinar $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,S_n$ y $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,S'_n$ .

2. Definimos la secuencia $\,(W_n)$ por $\,W_n=ln\,V_n$ para cualquier número entero n .

Demuestre que la secuencia $\,(W_n)$ es una secuencia aritmética.

Calcular $\,S''_n=\sum_{k=0}^{n}W_k$ en función de n y determinar $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,S''_n$

3. Calcula el producto $\,P_n=V_0\times \,V_1\,\times \,....\times \,V_n$ en función de n.

De ello se deduce $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,P_n$ .

Probabilidad :

Un jugador inicia una partida en la que juega varias partidas seguidas.

La probabilidad de que el jugador pierda la primera partida es 0,2.

A continuación, el juego se desarrolla del siguiente modo:

Si gana una partida, pierde la siguiente con una probabilidad de 0,05 ;

Si pierde una partida, perderá la siguiente con una probabilidad de 0,1.

1) Llamamos :

_E1 el evento «el jugador pierde la primera partida»;

_E2 el evento «el jugador pierde la segunda partida»;

_E3 el evento «el jugador pierde la tercera partida».

Llamamos X a la variable aleatoria que da el número de veces que el jugador pierde en las tres primeras partidas.

Se puede utilizar un árbol ponderado como guía.
a) ¿Qué valores toma X?
(b) Demuestre que la probabilidad del suceso(X = 2) es 0,031 y que la probabilidad del suceso(X = 3) es 0,002.
c) Determina la distribución de probabilidad de X.
d) Calcula la esperanza de X.
2) Para cualquier número natural distinto de cero n, sea _En el suceso: «el jugador pierde la enésima partida», $\overline{E_n}$ el suceso contrario, y sea _pn la probabilidad del suceso _En.
a) Exprese, para cualquier número natural n distinto de cero, las probabilidades de los sucesos
$E_n\cap\,E_n$ y $\overline{E_n}\cap\,E_n$ en función de _pn.
b) Deduce que _pn+1 = 0,05 _pn + 0,05 para cualquier número natural n distinto de cero.
3) Consideremos la sucesión(_un) definida para cualquier número natural n distinto de cero por $U_n=P_n-\frac{1}{19}$ .
a) Demuestre que(_un) es una sucesión geométrica, cuya razón y primer término deben especificarse.
b) Deduce, para cualquier número natural distinto de cero n, _a y luego _pn como función de n.
c) Calcula el límite de _pn cuando n tiende a $+\infty$ .

Números complejos

Encuentra todos los pares $\,(z_1,z_2)$ de números complejos que satisfagan las condiciones :

$\,\{{z_1z_2=\frac{1}{2}\atop\,z_1+2z_2=\sqrt{3}}$ .

Da la forma trigonométrica de cada uno de los números así obtenidos.

Números complejos y trigonometría

Sean los números complejos $\,z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ y $\,z_2=1-i$ .

1. Poner en forma trigonométrica $\,z_1\,,\,z_2\,,\,Z=\frac{z_1}{z_2}$ .

Deduce que :

$\,cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ y $\,sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ .

3. Considera la ecuación con incógnita real x :

$\,(\sqrt{6}+\sqrt{2})cos\,x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})sin\,x=2$

a. Resuelve esta ecuación en $\,\mathbb{R}$ .

b. Sitúa los puntos imagen de las soluciones en la circunferencia trigonométrica.

Ecuaciones diferenciales

Consideremos la ecuación diferencial $\,y'-2y=e^{2x}\,(E)$ .

1. Demostrar que la función u definida en $\mathbb{R}$ por $u(x)=xe^{2x}$ es una solución de (E) .

2. Resuelve la ecuación diferencial $\,y'-2y=0\,\,\,(E_0)$ .

3. Demuestre que una función v definida en $\,\mathbb{R}$ es una solución de (E) si y sólo si v-u es una solución de $\,(E_0)$ .

4. Deduce todas las soluciones de la ecuación (E).

5. Determinar la función, solución de (E), que toma el valor 1 en 0 .

6. El plano está provisto de un marco de referencia ortonormal $\,(O,\vec{i},\vec{j}).$

Definamos f en $\,\mathbb{R}$ por $\,f(x)=(x+1)e^{2x}$ .

C es la curva representativa de f en el sistema de referencia $\,(O,\vec{i},\vec{j}).$

a. Estudia las variaciones de f y elabora su tabla de variaciones.

b. Parcela C .

El baricentro de los puntos ponderados

Consideremos un triángulo ABC en el plano .

1.a. Determinar y construir el punto G, baricentro del sistema de puntos ponderados:

$\,\{(A;1)\,;\,(B;-1)\,;\,(C;1)\}$ .

b. Determinar y construir el punto G’, baricentro del sistema de puntos ponderados:

$\,\{(A;1)\,;\,(B;5)\,;\,(C;-2)\}$ .

2.a. Sea J el punto medio de [AB].

Expresa $\vec{GG'}$ y $\vec{JG'}$ en términos de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ y deduce la intersección de las rectas (GG’) y (AB).

b. Demuestre que el baricentro I del sistema de puntos ponderados :

$\,\{(B;2)\,;\,(C;-1)}$ pertenece a (GG’).

3. Sea D un punto cualquiera del plano y O el punto medio de [CD] y K el punto medio de [OA].

a. Determinar tres números reales a, b, c tales que K sea el baricentro del sistema de puntos ponderados:

$\,\{(A;a)\,;\,(B;b)\,;\,(C;c)\}$ .

b. Sea X el punto de intersección de (DK) y (AC).

Determinar los números reales a’ y c’ tales que X es el baricentro del sistema de puntos ponderados:

$\,\{(A;a')\,;\,(C;c')\}$ .

Geometría en el espacio

Se propone un modelo de torre de control del tráfico aéreo, encargada de vigilar dos rutas aéreas representadas por dos líneas rectas en el espacio.

El espacio está referido a un marco de referencia ortonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de unidad 1 km .

El plano $(O;\vec{i},\vec{j})$ representa el suelo.

las dos
rutas aéreas
a controlar están representadas por dos rectas $\,(D_1)$ y $\,(D_2)$ , cuyas representaciones paramétricas son conocidas:

$\,(D_1)\,\,\,\\,{x=3+a\,\\\,y=9+3a\,\\\,z=2\,$

$\,(D_2)\,\,\,\\,{x=0,5+2b\,\\\,y=4+b\,\\\,z=4-b\,$

1.a. Dar las coordenadas de un vector $\,\vec{u_1}$ director de la recta $\,(D_1)$ y de un vector $\,\vec{u_2}$ director de la recta .

b. Demuestra que las rectas $\,(D_1)$ y $\,(D_2)$ no son coplanarias.

2. Queremos instalar en la parte superior S de la torre de control, con coordenadas S(3;4;0,1), un dispositivo de vigilancia que emita un rayo representado por una línea recta (R).

Sea $\,(P_1)$ el plano que contiene a S y $\,(D_1)$ y sea $\,(P_2)$ el plano que contiene a S y $\,(D_2)$ .

a. Demuestre que $\,(D_2)$ es secante a $\,(P_1)$ .

b. Demuestre que $\,(D_1)$ es secante a $\,(P_2)$ .

c. Un técnico afirma que es posible elegir la dirección de (R) de modo que intersecte a cada una de las líneas $\,(D_1)$ y $\,(D_2)$ .

¿Es cierta esta afirmación? (justifique la respuesta)

Problema sobre ecuaciones diferenciales

Parte A

Damos un número natural n estrictamente positivo, y consideramos la ecuación diferencial :

$(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$

1. Se supone que dos funciones g y h, definidas y derivables en $\mathbb{R}$ , satisfacen, para cualquier real x :

$g(x)=h(x)e^{-x}$

a. Demuestre que g es una solución de si y sólo si, para cualquier real x :

$\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!}$ .

b. Deducir la función h asociada a una solución g de , dado que f(0)=0.

¿Qué es la función g?

2. Sea $\phi$ una función diferenciable sobre $\mathbb{R}$ .

a. Demuestre que $\phi$ es una solución de si y sólo si $\phi\,-\,g$ es una solución de la ecuación :

(F) y’+y=0

b. Resuelve (F) .

c. determinar la solución general $\phi$ de la ecuación .

d. Determinar la solución f de la ecuación verificando f(0)=0 .

Parte B

El objetivo de esta sección es demostrar que :
$\fbox{\lim_{n\,\to\,+\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$
1. Para todo x real, planteamos

$f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}$ .

a. comprueba que es una solución de la ecuación diferencial: y’+y=.

b. Para cualquier número entero estrictamente positivo n, definimos la función como la solución de la ecuación diferencial y’+y= $f_{n-1}$ comprobando .

Utilizando la parte A, demuestre por recurrencia que para cualquier real x y cualquier entero $n\ge\,1$ :

$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ .

2. Para cualquier número natural n, planteamos :

$I_n=\int_{0}^{1}\,f_n(x)dx$

a. Demuestre, para cualquier número natural n y para cualquier elemento x del intervalo [0;1], la casilla :

$0\le\,f_n(x)\le\,\frac{x^n}{n!}$ .

Deduzca que $0\le\,I_n\le\,\frac{1}{(n+1)!}$ , luego determine el límite de la secuencia $(\,I_n)$ .

b. Demuestre, para cualquier número natural k distinto de cero, la igualdad :

$\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}}$ .

c. Calcula y deduce de lo anterior que :

$I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!}$ .

d. Por último, deduzca :
$\fbox{\lim_{n\,\to\,+\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$
Semejanzas de plano y enseñanza especializada

El plano complejo P está relacionado con un marco de referencia ortonormal $\,(O;\vec{u},\vec{v})$ .

Denotamos por s la aplicación que a cualquier punto M de P de coordenadas (x,y) asocia el punto M’ de coordenadas (x’, y’) tal que :

$\,\{{x'=-x-y+2\atop\,y'=x-y-1}$

1. Determinar el afijo z’ de M’ en función del afijo z de M .

2. Demostrar que s es una semejanza directa de plano.

Especifica su ángulo, relación y centro I .

3. Sea g la aplicación que asocia a cualquier punto M de P el isobaricentro G de los puntos M, M’=s(M) y M»=s(M’) .

a. Calcular, en función del afijo z de M, los afijos de los puntos M» y G.

b. Demuestre que g es una semejanza directa del plano.

¿Cuál es su centro?

c. Determinar el afijo del punto Mo tal que g(Mo) es el punto O .

Traza los puntos correspondientes Mo, M’o, M»o y el punto I, centro de la semejanza s .

Extractos del bachillerato S sobre aritmética

Sea n un número natural.

1. Halla, según los valores de n, los restos de la división de $\,5^n$ entre 13.

2. Deduce que $\,1981^{1981}-5$ es divisible por 13.

3. Demuestre que, para cualquier número natural n mayor o igual que 1, el número $\,N=31^{4n+1}+18^{4n-1}$ es divisible por 13 .

Similitudes de plano en la especialidad

En el plano orientado, considera un cuadrado directo ABCD con centro O.

Sea P un punto del segmento [BC] distinto de B.

La intersección de (AP) con (CD) se denomina Q.

La perpendicular $\,\Delta$ a (AP) por A interseca a (BC) en R y a (CD) en S .

1. Haz una figura .

2. Sea r la rotación con centro A y ángulo $\,\frac{\pi}{2}$ .

a. Especifique, con justificación, la imagen de la recta (BC) por la rotación r .

b. Determinar las imágenes de R y P por r .

c. ¿Cuál es la naturaleza de cada uno de los triángulos ARQ y APS?

3. N es la mitad del segmento [PS] y M es la mitad del segmento [QR].

Sea s la semejanza con centro A, ángulo $\,\frac{\pi}{4}$ y razón $\,\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

a. Determinar las imágenes respectivas de R y P por s .

b. ¿Cuál es el lugar geométrico del punto N cuando P describe el segmento [BC] privado de B?

c. Demuestra que los puntos M, B, N y D están alineados.

Exponencial en el bachillerato S en Norteamérica
El objetivo de esta pregunta es demostrar que $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\frac{e^x}{x}=+\infty$ .

Se supondrá que se conocen los siguientes resultados:
– La función exponencial es derivable en R y es igual a su función derivada ;
– ;
– para cualquier real x, tenemos ;
– sean dos funciones $\Psi$ y $\varphi$ definidas en el intervalo $%5BA;+\infty%5B$ donde A es un real positivo.
Si para cualquier x en $%5BA;+\infty%5B$ , $\Psi\,(x)<\varphi\,(x)$ y si $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\Psi\,(x)=+\infty$ entonces $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\varphi\,(x)=+\infty$ .
a) Consideremos la función g definida en $%5B0;+\infty%5B$ por $g(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$ .
Demuestre que para cualquier x en $%5B0;+\infty%5B$ , $g(x)\geq\,\,0$ .
b) Deduce que $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\frac{e^x}{x}=+\infty$ .
Similitudes con el Bac S de Pondicherry en especialidad

El plano complejo está relacionado con un marco de referencia ortonormal directo $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

Considere la aplicación que al punto M del afijo z le corresponde el punto M’ del afijo tal que :
$z'=\frac{3+4i}{5}\overline{z}+\frac{1-2i}{5}$ .

Sean x y x ‘, y e y ‘ las partes real e imaginaria de z y z ‘ .

Demuestre que $x'=\frac{3x+4y+1}{5}$ y $y'=\frac{4x-3y-2}{5}$
2. a. Determinar el conjunto de puntos invariantes respecto a f.
b. ¿Cuál es la naturaleza de la solicitud f?
3. Determinar el conjunto D de puntos M de afijo z tal que z ‘ es real.

4. Tratamos de determinar los puntos de D cuyas coordenadas son números enteros.

Dar una solución particular(x0, y0) perteneciente a ^Z2de la ecuación4x – 3y = 2.

Determinar el conjunto de soluciones pertenecientes a ^Z2de la ecuación4x – 3y = 2.

5. Consideremos los puntos M del afijo z = x + iy tales que x = 1 y $y\,\in\,Z$ . El punto M‘ = f(M) tiene afijo z ‘ .

Determinar los enteros y tales que Re(z ‘ ) y lm(z ‘ ^{‘ )} son enteros (se pueden utilizar congruencias módulo 5).

Geometría en el espacio en la bac S de Francia :

Sea un real estrictamente positivo y OABC un tetraedro tal que :

– OAB, OAC y OBC son triángulos rectángulos en O,

– OA = OB = OC = .

I es el pie de la altura desde C del triángulo ABC, H es el pie de la altura desde O del triángulo OIC, y D es el punto en el espacio definido por :

1. ¿Cuál es la naturaleza del triángulo ABC?
2. Demostrar que las rectas (OH) y (AB) son ortogonales, y entonces que H es el ortocentro del triángulo ABC.
3. Cálculo de OH
a. Calcula el volumen V del tetraedro OABC y el área S del triángulo ABC.
b. Expresa OH en función de V y S y deduce que $OH=a\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
4. Estudio del tetraedro ABCD.

El espacio está relacionado con el marco de referencia ortonormal $(O,\frac{1}{a}\vec{OA},\frac{1}{a}\vec{OB},\frac{1}{a}\vec{OC})$ .
(a) Demuestre que el punto H tiene las coordenadas: $(\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3})$ .
(b) Demuestra que el tetraedro ABCD es regular (es decir, todas sus aristas tienen la misma longitud).
(c) Sea $\Omega$ el centro de la esfera circunscrita del tetraedro ABCD.
Demuestra que $\Omega$ es un punto de la recta (OH) y calcula sus coordenadas.
Bacterias y ecuaciones diferenciales

Sea el número de bacterias introducidas en un medio de cultivo en el momento (siendo un real estrictamente positivo, expresado en millones de individuos).

El objetivo de este problema es estudiar dos modelos de evolución de esta población de bacterias:

– un primer modelo para los momentos posteriores a la siembra(parte A),

– un segundo modelo que puede aplicarse durante un largo periodo de tiempo(Parte B).

Parte A

Unos instantes después de sembrar el medio de cultivo,

Se considera que la tasa de crecimiento de las bacterias es proporcional al número de bacterias presentes.

En este primer modelo, es el número de bacterias en el momento (expresado en millones de individuos).

La función es, por tanto, una solución de la ecuación diferencial:. (donde es un real estrictamente positivo que depende de las condiciones experimentales).
1. Resuelve esta ecuación diferencial, sabiendo que .
2. El tiempo de duplicación de la población bacteriana se indica en .
Demuestre que para cualquier real positivo t: $f(t)=N_o2^{\frac{t}{T}}$ .

Parte B

Como el medio es limitado (en volumen, en nutrientes, …), el número de bacterias no puede crecer exponencialmente de forma indefinida. Por tanto, el modelo anterior no puede aplicarse a largo plazo.

Para tener en cuenta estas observaciones, la evolución de la población bacteriana se representa del siguiente modo:

Sea el número de bacterias en el momento t (expresado en millones de individuos);

la función es una función estrictamente positiva que puede derivarse en $%5B0;+\infty%5B$ y que verifica para cualquier de $%5B0;+\infty%5B$ la relación :

$(E)\,\,g(t)=ag(t)%5B1-\frac{g(t)}{M}%5D$

donde M es una constante estrictamente positiva que depende de las condiciones experimentales y es el real definido en la parte A.1. (a) Demuestre que si es una función estrictamente positiva que satisface la relación (E),
entonces la función $\frac{1}{g}$ es una solución de la ecuación diferencial
$(E')\,\,y'+ay=\frac{a}{M}$

(b) Resuelve (E ‘ ).
(c) Demuestre que si es una solución estrictamente positiva de (E ‘ ), entonces $\frac{1}{h}$ verifica (E).
2. Se supone ahora que para cualquier real positivo $t,\,g(t)=\frac{M}{1+Ce^{at}}$
donde es una constante estrictamente superior a 1 en función de las condiciones experimentales.
(a) Determine el límite de en $+\infty$ y demuestre, para cualquier real positivo o cero, la doble desigualdad:.
(b) Investigar la dirección de variación de (puede utilizarse la relación (E)).
Demostrar que existe un único real positivo tal que $g(t_0)=\frac{M}{2}$ .
(c) Demuestre que $g''=a(1-\frac{2g}{M})g'$ .
Estudia el signo de .
De ello se deduce que la tasa de aumento del número de bacterias es decreciente a partir del tiempo definido anteriormente.
Exprese en función de y .
(d) Sabiendo que el número de bacterias en el momento es , calcula el número medio de bacterias entre el momento 0 y , en función de M y .
Probabilidad en el bachillerato S en Nueva Caledonia :

El juego consiste en extraer tres bolas simultáneamente de una urna que contiene seis bolas blancas y cuatro rojas.

Se supone que todos los sorteos son equiprobables.

Si las tres bolas son rojas, el jugador gana 100 euros;

si exactamente dos de las bolas extraídas son rojas, gana 15 euros

y si sólo uno es rojo gana 4 euros.

En todos los demás casos, no gana nada.

Sea X la variable aleatoria que toma como valor las ganancias en euros del jugador en una partida.

1°) Determina la ley de probabilidad de la variable aleatoria X.

2°) Para una partida, la apuesta es de 10 euros. ¿Es el juego favorable al jugador, es decir, la expectativa matemática es estrictamente superior a 10?

3°) El organizador considera que el juego no es suficientemente rentable, por lo que tiene dos opciones:

o aumentar la apuesta en 1 euro, es decir, a 11 euros,

o reducir cada ganancia en 1 euro, es decir, ganar sólo 99 euros, 14 euros o 3 euros.
¿Cuál es la solución más rentable para el organizador?

Aritmética en la especialidad

Consideremos dos números naturales distintos de cero, x e y, que son primos.

S= x + y y P = xy.

1°) a) Demuestra que x y S son primos entre sí, al igual que y y S.

b) Deduce que S = x+y y P =xy son primos.

c) Demuestra que los números S y P tienen paridades diferentes (uno par y otro impar).
2°) Determina los divisores positivos de 84 y ordénalos de forma ascendente.

3°) Halla los números primos x e y tales que: SP = 84.

4°) Determina los dos números naturales a y b que satisfacen las siguientes condiciones:
$\,\{\,a+b=84\\ab=d^3\,.$ con d = gcd(a;b)
(Puedes poner a = dx y b = dy con x e y primos entre sí).

Números complejos

1°) Consideremos el polinomio P de la variable compleja z, definido por:
$P(z)=z^3+(14-i\sqrt{2})z^2+(74-14i\sqrt{2})z-74i\sqrt{2}$ .
a) Determina el número real y tal que iy es la solución de la ecuación P(z) = 0.
b) Encuentra dos números reales a y b tales que, para cualquier número complejo z,
tenemos $P(z)=(z-i\sqrt{2})(z^2+az+b)$
c) Resuelve la ecuación P(z) = 0 en el conjunto $\mathbb{C}$ de números complejos.
2°) El plano complejo está relacionado con un marco de referencia ortonormal directo $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

La unidad de medida es 1 cm.
a) Localiza los puntos A, B e I con afijos _zA = -7 + 5 i; _zB = -7 – 5 i y $z_I=i\sqrt{2}$ respectivamente.
b) Determinar el afijo de la imagen del punto I por el giro de centro O y ángulo $-\frac{\pi}{4}$ .
c) Localiza el punto C con afijo _zC = 1 + i. Determinar el afijo del punto N tal que ABCN es un paralelogramo.
d) Localiza el punto D con afijo _zA = 1 + 11 i.
Calcula $Z=\frac{Z_A-Z_C}{Z_D-Z_B}$ en forma algebraica y luego en forma trigonométrica.
Justifica que las rectas (AC) y (BD) son perpendiculares y deduce la naturaleza del cuadrilátero ABCD.

Probabilidades

El aula de informática de un colegio está equipada con 25 ordenadores, 3 de los cuales están averiados.

Todos los ordenadores tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

En esta sala se eligen dos ordenadores al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que estos dos ordenadores estén averiados?

La vida útil de un ordenador (es decir, la duración del funcionamiento antes del primer fallo), es una variable aleatoria X que sigue una ley exponencial de parámetro λ con λ > 0.

Así, para cualquier t real positivo, la probabilidad de que un ordenador tenga una vida útil inferior a t años, denotada p(X ≤ t), viene dada por :

$p(X\leq\,\,t)=\int_{0}^{t}\lambda\,e^{-\lambda\,x}dx$ .
1. Determine λ dado que p(X > 5) = 0,4.
2. En esta pregunta, tomaremos λ = 0,18.
Sabiendo que un ordenador no se ha averiado en los 3 primeros años, ¿cuál es la probabilidad, con una aproximación de ^10-3, de que tenga una vida superior a 5 años?
3. En esta pregunta, se supone que la vida útil de un ordenador es independiente de las demás y que p(X > 5) = 0,4.

a. Consideramos un lote de 10 ordenadores.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los ordenadores de este lote tenga una vida superior a 5 años?

Se da un valor redondeado a la milésima parte de esta probabilidad.

b. ¿Cuál es el número mínimo de ordenadores que deben elegirse para que la probabilidad del suceso «al menos uno de ellos tiene una vida útil de más de 5 años» sea mayor que 0,999?

Geometría en el espacio

Consideremos el cubo ABCDEFGH con arista de longitud 1 que se muestra a continuación. No es obligatorio devolver el gráfico con la copia.

El espacio está relacionado con el marco de referencia ortonormal $(A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$
1. Demostrar que el vector $\vec{v}$ de coordenadas (1; 0; 1) es un vector normal al plano (BCE).
2. Determinar una ecuación del plano (BCE).
3. Sea (Δ) la recta perpendicular en E al plano (BCE).
Determinar una representación paramétrica de la recta (Δ).
4. Demostrar que la recta (Δ) es secante al plano (ABC) en un punto R, simétrico a B respecto a A.
5. a. Demostrar que el punto D es el baricentro de los puntos R, B y C con coeficientes 1, -1 y 2 respectivamente.
b. Determinar la naturaleza y los elementos característicos del conjunto(S) de puntos M
del espacio como $\,\%7C\,\vec{MR}\,-\vec{MB}+2\vec{MC}\,\%7C=2\sqrt{2}$
c. Demostrar que los puntos B, E y G pertenecen al conjunto(S).
d. Demostrar que la intersección del plano (BCE) y el conjunto(S) es una circunferencia cuyo radio hay que especificar.

Aritmética (especialidad)

Demuestra el teorema de Gauss utilizando el teorema de Bézout.

Recordemos la propiedad conocida como teorema pequeño de Fermat:

«Si p es un número primo y q es un número natural primo de p, entonces $q^{p-1}\equiv\,1%5Bp%5D$ «.

Consideremos la secuencia definida para cualquier número natural n distinto de cero por :
_un = 2
ⁿ
+3
ⁿ
+6
ⁿ
-1.
1. Calcula los seis primeros términos de la sucesión.
2. Demuestre que para cualquier número natural n distinto de cero, _uno es par.
3. Demuestre que, para cualquier número natural par distinto de cero n , _uno es divisible por 4.

Observemos (E) el conjunto de números primos que dividen al menos un término de la sucesión(_un).
4. ¿Pertenecen los números enteros 2, 3, 5 y 7 al conjunto (E)?
5. Sea p un número primo estrictamente mayor que 3.
a. Demuestra que: ^6×2p-2 ≡ 3 (módulo p) y ^6×3p-2 ≡ 2 (módulo p).
b. Deduce que _6up-2 ≡ 0 (módulo p).
c. ¿Pertenece el número p al conjunto (E)?

Problema exponencial

Parte A

Considere la función definida en $%5B0;+\infty%5B$ por
$g(x)\,=\,e^x-x-1$ .

1. Estudia las variaciones de la función g.
2. Determina el signo de g(x) en función de los valores de x.
3. Deducir que para todo x en [0 ; +∞ [, e
^x
– x > 0.
Parte B

Consideremos la función f definida en [0; 1] por
$f(x)=\frac{e^x-1}{e^x-x}$ .
La curva(C) representativa de la función en el plano con un punto de referencia ortonormal figura en el apéndice.

Este anexo se cumplimentará y entregará junto con la copia al final de la prueba.

Se supone que f es estrictamente creciente en [0; 1].

1. Demuestre que para todo x en [0; 1], f (x) Î [0; 1].

2. Sea (D) la recta de ecuación y = x.
Demuestre que para todo x en [0; 1], $f(x)-x=\frac{(1-x)g(x)}{e^x-x}$ .
Investiga la posición relativa de la recta (D) y la curva(C) en [0; 1].

3. a. Determinar una primitiva de f en [0; 1].

b. Calcula el área, en unidades de área, del dominio del plano limitado por la curva(C), la recta (D) y las rectas con ecuaciones x = 0 y x = 1.

Parte C

Consideremos la secuencia(_un) definida por:
$U_0=\frac{1}{2}$
$U_{n+1}=f(U_n)$ para cualquier número natural n.
1. Construye los cuatro primeros términos de la sucesión sobre el eje x, dejando visibles las líneas de construcción.

2. Demostrar que para cualquier número natural n, $\frac{1}{2}$ _un≤ _un+1 ≤ 1.

3. Deduce que la sucesión(_un) es convergente y determina su límite.

Probabilidades

Para realizar una encuesta, un empleado entrevista a personas al azar en un centro comercial.

Se preguntó si al menos tres personas estarían dispuestas a responder.
1. En esta pregunta, se supone que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar acepte responder es 0,1.
El empleado entrevista a 50 personas de forma independiente.
Considere los acontecimientos :

R: «al menos una persona acepta responder».

B: «menos de tres personas están de acuerdo en responder».

C: «tres o más personas se ponen de acuerdo para responder».

Calcula las probabilidades de los sucesos A, B y C. Redondea al millar más próximo.

2. Sea n un número natural mayor o igual que 3. En esta pregunta, se supone que la variable aleatoria X que, a cualquier grupo de n personas entrevistadas independientemente, asocia el número de personas que aceptaron contestar, sigue la distribución de probabilidad definida por :
$\,\{\,Pour\,tout\,entier\,k\,tel\,que\,0\leq\,\,k\leq\,\,n-1,\,P(X=k)=e^{-a}\frac{a^k}{k!}\,\\P(X=n)=\sum_{k=1}^{n-1}e^{-a}\frac{a^k}{k!}\\Formules\,pour\,lesquelles\,a=\frac{n}{10}.$
a. Demuestre que la probabilidad de que respondan al menos tres personas viene dada por :
$f(a)=1-e^{-a}(1+a+\frac{a^2}{2})$
b. Calcule.

Da el redondeo a la milésima.

¿Da este modelo un resultado similar al obtenido en la pregunta 1?

3. Se mantiene el modelo de la pregunta 2.

Queremos determinar el número mínimo de personas a entrevistar para que la probabilidad de que al menos tres de ellas respondan sea mayor o igual a 0,95.

a. Estudia las variaciones de la función f definida en ^R+por $f(x)\,=1-e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2})$

y su límite en $+\infty$ .

Elabora su tabla de variaciones.

b. Demuestre que la ecuación f(x) = 0,95 tiene una solución única en ^R+ y que esta solución se encuentra entre 6,29 y 6,3.

c. Deduzca el número mínimo de personas a entrevistar.

Geometría y baricentro

El espacio está relacionado con el marco de referencia ortonormal $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
Consideremos el plano P con ecuación2x +y– 2z + 4 =0 y los puntos A con coordenadas (3; 2; 6),
B con coordenadas (1; 2; 4), y C con coordenadas (4; -2; 5).

1. a. Comprueba que los puntos A, B y C definen un plano.

b. Comprueba que este plano es el plano P.

2. a. Demuestra que el triángulo ABC es un rectángulo.
b. Escribe un sistema de ecuaciones paramétricas de la recta Δ que pasa por O y es perpendicular al plano P.
c. Sea K el proyecto ortogonal de O sobre P. Calcula la distancia OK.
d. Calcula el volumen del tetraedro OABC.
3. En esta pregunta consideramos el sistema de puntos ponderados S ={(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
a. Comprueba que este sistema tiene un baricentro, que anotaremos G.
b. I es el centro de gravedad del triángulo ABC. Demuestre que G pertenece a (OI).
c. Determinar la distancia de G al plano P.
4. Sea Γ el conjunto de puntos M en el espacio que satisfacen :
$\,\%7C\,3\vec{MO}+\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\,\,\%7C=5$ .
Determina Γ.

¿Cuál es la naturaleza del conjunto de puntos comunes a P y Γ?

Los juegos completos

1. Determinar tres números reales a, b, c tales que para todo $\,x\in\,%5D0;+\infty%5B$ :

$\,\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}$ .

2. Dejemos $\,X\ge\,1$ .

a. Calcular $\,\int_{1}^{X}\,\frac{dx}{x(1+x)^2}$ .

b. Sea f la función definida en $\,x\in\,%5B1;+\infty%5B$ por $\,f(X)=\int_{1}^{X}\,\frac{ln\,x}{(1+x)^3}dx$

Integrando por partes, calcula f(X) en función de X .

c. Demuestra que $\,\lim_{X\,\to\,+\infty}\,f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})$

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