Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF.
Mis à jour le 23 août 2025
et la division euclidienne dans 
et ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.I. Divisibilité et division euclidienne.
1.Divisibilité dans Z.
a et b sont deux entiers relatifs (
).
Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.
Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.
Exemple :
donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.- Les diviseurs dans du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.
Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car 
.
2.Propriétés de la divisibilité.
a et b sont deux entiers relatifs (), il résulte de la définition que :
- Si b divise a alors – b divise a.
- Si b divise a et si
, alors 
.
a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.
Soient a,b et c sont trois entiers relatifs (, ).
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Soient 
sont trois entiers relatifs (
).
Si d divise a et b, alors d divise tout entier 
.
En particulier, d divise leur somme 
et leur différence 
.
Preuve :
Par hypothèses, on peut écrire 
et 
avec k et k’ entiers.
avec 
entiers, donc d divise 
.
3.La division euclidienne dans N.
a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que 
et 
.
a et b sont deux entiers naturels, .Effectuer la division euclidienne dans de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que et .
Vocabulaire :
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Conséquence :
b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.
4.La division euclidienne dans Z
a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.
Alors il existe un unique couple 
tel que q entier relatif et r entier naturel tel que et 
.
Exemple :
.
Pour obtenir un reste positif, on écrit 
.
Ainsi 
et 
.
II. Congruences.
1.Entiers congrus modulo m.
m est un entier naturel non nul.
Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste
dans la division euclidienne par m.
Notation :
On écrit 
.On lit a est congru à b modulo m.
Exemple :
et 
.
m est un entier naturel non nul.
Pour tous entiers relatifs a et b, 
.
Remarques :
- Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors
. 
si et seulement si m divise a.
2.Propriétés des congruences.
m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,
si et 
, alors 
.
m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si et 
, alors :
, alors pour tout entier p positif, 
.Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF.» au format PDF.
Ressources de terminale
Cours de terminale
Exercices de terminale
D'autres cours et exercices à consulter
L'équipe Mathovore
12 Enseignants Titulaires
Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale, spécialisés en mathématiques en primaire, au collège, au lycée et post-bac.
Notre équipe collaborative enrichit constamment nos ressources pédagogiques.
Nos applications
Téléchargez gratuitement la dernière version de nos applications.
