Divisibilité et congruences : cours d'arithmétique en terminale.

L’arithmétique à travers un cours de maths en terminale spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

I. Divisibilité et division euclidienne.

1.Divisibilité dans Z.

Définition :

a et b sont deux entiers relatifs ( $divisibilité et congruence$ ).

Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.

On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

$- 45 =( -5 ) \times 9 = 5 \times (-9)$ donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
Les diviseurs dans $\mathbb{Z}$ du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car $1 \times n=(-1) \times (-n)=n$ .

2.Propriétés de la divisibilité.

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ), il résulte de la définition que :

Si b divise a alors – b divise a.
Si b divise a et si $a\neq0$ , alors $\left |b \right |\leq \left |a \right |$ .

Théorème :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.

Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Théorème (transitivité):

Soient a,b et c sont trois entiers relatifs ( $a\neq0$ , $b\neq0$ ).

Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire.

Soient $a,b,d$ sont trois entiers relatifs ( $d\neq0$ ).

Si d divise a et b, alors d divise tout entier $ma+nb$ $(m,n\in\mathbb{Z})$ .

En particulier, d divise leur somme $a + b$ et leur différence $a-b$ .

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire $a=dk$ et $b=dk'$ avec k et k’ entiers.

$ma+nb=mdk + ndk'=(mk+nk')d$ avec $mk+nk'$ entiers, donc d divise $ma + nb$ .

3.La division euclidienne dans N.

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que $a=bq+r$ et $0\leq r<b$ .

Définition :

a et b sont deux entiers naturels, $b\neq0$ .Effectuer la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que $a=bq+r$ et $0\leq r<b$ .

Vocabulaire :

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence :

b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.