Limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale.

🔍Corrigés Détaillés

Terminale • Lycée

Limite de fonctions

🔎 Analyse : 15 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les limites de fonctions numériques.

Exercice 1 :

1. On a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x-1}{x-1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to+\infty} x = +\infty.$

2. On a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+100}{x^2+x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{100}{x}\right)}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0.$

3. On a
$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3}{x^2+x+1}-x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3-x^2-x}{x^2+x+1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)} = -1.$

4. On a
$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{x+1}\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3+x^2+x}{(2x^2-1)(x+1)} = 0.$

5. On a
$\begin{align*} \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2}\right) &= \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2(2x-1)-(3x^2+x+2)(2x-1)}{4x^2(2x+1)} \\ &= \lim_{x\to+\infty}\frac{(3x^2-2x-1)(2x-1)}{4x^2(2x+1)} \\ &= \frac{3}{8}. \end{align*}$

6. On a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x-4} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{\frac{x+5}{x^2}}}{1-\frac{4}{x}} = 0.$

7. On a
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x-1}+2x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-(2x)^2}{\sqrt{x^2+x-1}-2x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^2-x+1}{\sqrt{x^2+x-1}-2x} = -\sqrt{13}.$

8. On a
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x-1}+x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-x^2}{\sqrt{x^2+x-1}-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x-1}+x} = 1.$

9. On a
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+3}\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-x^2-3}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+3}} = -1.$

Exercice 2 :

Par la règle de composition des limites, on a :
$\lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{t} = n \times \lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{nt}.$

Or, on a $\lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{nt} = \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}$ avec $u = nt$ , donc cette limite est égale à 1.

Finalement, on a :
$\lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{t} = n \cdot \lim_{t\to 0} \frac{\sin(nt)}{nt} = n \cdot 1 = n.$

Ainsi, la limite cherchée est $n$.

Exercice 16 :

1. Soit $\alpha>0$ . On cherche à montrer que l’intervalle $]1-\alpha;1+\alpha[$ contient toutes les valeurs de g(x) pour x assez grand.

Pour tout x>0, on a :
$g(x)=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$ .

Ainsi, si $x>\alpha$ , on a :
$1-\alpha<\frac{1}{x}<1+\alpha$ ,
ce qui entraîne :
$1-\alpha+1<1+\frac{1}{x}<1+\alpha+1$ ,
soit :
$2-\alpha<g(x)<2+\alpha$ .

Donc, pour tout $x>\alpha$ , on a $g(x)\in]2-\alpha;2+\alpha[$ et l’intervalle $]1-\alpha;1+\alpha[$ contient toutes les valeurs de g(x) pour x assez grand.

2. On en déduit que :
$\lim_{x\to+\infty}g(x)=2$ .
Graphiquement, cela signifie que la courbe de g se rapproche de la droite d’équation y=2 lorsque x tend vers l’infini.

Exercice 17 :

1. Soit $\alpha>0$ . On cherche à montrer que l’intervalle $]-\alpha;+\alpha[$ contient toutes les valeurs de h(x) pour x assez grand.

Pour tout x>1, on a :
$h(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{\frac{1 }{x^2}}{1-\frac{1 }{x^2}}$ .

Comme $1-\frac{1}{x^2}$ tend vers 1 lorsque x tend vers l’infini, on peut choisir x assez grand pour que $1-\frac{1}{x^2}>\frac{1}{2}$ , ce qui donne :
$\frac{1}{2}<1-\frac{1}{x^2}<1$ .

D’autre part, comme $\frac{1}{x^2}$ tend vers 0 lorsque x tend vers l’infini, on peut choisir x assez grand pour que $\frac{1}{x^2}<\alpha^2$ , ce qui donne :
$0<\frac{1}{x^2}<\alpha^2$ .

On en déduit que, pour x assez grand :
$-\alpha<\frac{1}{x^2-1}<\alpha$ ,
ce qui montre que l’intervalle $]-\alpha;+\alpha[$ contient toutes les valeurs de h(x) pour x assez grand.

2. On en déduit que :
$\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ .
Graphiquement, cela signifie que la courbe de h se rapproche de l’axe des abscisses lorsque x tend vers l’infini.

Exercice 18 :

On a :
$f(x)=-x^2+3x+1=-(x^2-3x-1)$ .

Le trinôme du second degré $x^2-3x-1$ admet deux racines réelles et distinctes :

$x_1=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ et $x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ .

Ainsi, lorsque x tend vers l’infini, le terme -x^2 domine et f(x) tend vers $-\infty$ .

Exercice 19 :

a) Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a :
$g(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}=\frac{e^x}{e^x-1}+\frac{1}{e^x-1}=1+\frac{1}{e^x-1}$ .

En posant y=e^{-x}, on a :
$\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{y\to+\infty}g(-\ln y)=1+\lim_{y\to+\infty}\frac{1}{y-1}=1$ .

Ainsi, la fonction g admet une limite finie en $-\infty$ , égale à 1.

b) Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a :
$g(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}=\frac{1+\frac{1}{e^x}}{1-\frac{1}{e^x}}=1+\frac{2}{e^x-1}$ .

En posant $y=e^x$ , on a :
$\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{y\to+\infty}g(\ln y)=1+\lim_{y\to+\infty}\frac{2}{y-1}=1$ .

Ainsi, la fonction g admet une limite finie en $+\infty$ , égale à 1.

Exercice 20 :

Il est difficile de donner une réponse graphique sans les axes gradués, mais voici quelques idées pour tracer une courbe $\varphi$ qui respecte le tableau de variation donné :

– Pour la fonction croissante puis décroissante, on peut tracer une courbe en forme de montagne, avec un sommet qui correspond au maximum, puis une descente jusqu’à l’asymptote horizontale (qui correspond au pointillé horizontal en bas à droite du tableau).
– Pour la fonction décroissante puis croissante, on peut tracer une courbe en forme de vallée, avec un point minimum qui correspond à l’intersection du pointillé horizontal et du pointillé vertical à gauche du tableau, puis une montée jusqu’à l’asymptote horizontale.
– Pour la fonction constante puis décroissante, on peut tracer une droite horizontale jusqu’au pointillé vertical à gauche du tableau, puis une descente brusque jusqu’à l’asymptote horizontale.
– Pour la fonction décroissante puis constante, on peut tracer une descente brusque jusqu’au pointillé vertical à gauche du tableau, puis une droite horizontale jusqu’à l’asymptote horizontale.

Exercice 21:

$\\\\a) \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x\sqrt{x}=\lim_{x\to+\infty}x^\frac{3}{2}=+\infty. \\\\b) \lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(4x^2-x+5)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x\to+\infty}(4x-5)=+\infty. \\\\c)\lim_{x\to+\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}e^x\,(\frac{1}{x}+2)=+\infty\times 2=+\infty. \\\\d)\lim_{x\to+\infty}k(x)=\lim_{x\to+\infty}x^2\,(-3-\frac{1}{x}\,)=\lim_{x\to+\infty}-3x^2=-\infty.$

Exercice 22 :

1.
a. On peut utiliser la fonction graphique de la calculatrice pour représenter la courbe de C.

On voit que la fonction est croissante et tend vers l’asymptote horizontale y=8 pour x qui tend vers l’infini.

b. On a :

$\lim_{x\to+\infty}C(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{8}{1+e^{-x}}=8$ .

2.
a. Le coût moyen de fabrication d’une puce lorsqu’on en fabrique q est donné par :
$C_M(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{8}{q(1+e^{-q})}$ .

b. On peut tracer la courbe de $C_M$ à l’aide de la fonction graphique de la calculatrice. On voit que la fonction est décroissante et tend vers zéro pour q qui tend vers l’infini.

c. On a :
$\lim_{q\to+\infty}C_M(q)=\lim_{q\to+\infty}\frac{8}{q(1+e^{-q})}=0$ .

Interprétation :

lorsque la quantité de puces fabriquées augmente, le coût moyen de fabrication diminue et tend vers zéro.

Cela peut s’expliquer par des phénomènes d’économies d’échelle : plus la production est importante, plus les coûts fixes sont dilués sur une grande quantité de puces, ce qui permet de réduire le coût moyen de fabrication.

4.4/5 - (27753 votes)

Limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale.

Limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Barycentre : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Calcul intégral : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Arithmétique : corrigé des exercices en terminale spécialité en PDF.