Fonctions : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 :

Exercice 6 :

Exercice 7 :

1. Déterminer par lecture graphique les images de 1et de 2.5 par la fonction f. (à 0.1 près)

f(1)=0 et f(2,5)=1

2. Retrouver les valeurs exactes de ces résultats par le calcul.

3. Déterminer graphiquement les antécédents de 1. ( toujours à 0.1 près)

Les antécédents de 1 par f sont 0,2 et 2,4

4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) =0.

Cette équation a deux solutions qui sont x = 1 et x = 3.

5.  Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)> 1.

S= [-1,5;0,2[

Exercice 8 :

On donne

f(x) = 9x² – 4 + (3-2 x) (3x-2) et g (x) = x² +2x +1 – (2x-3)²

1. Développer, réduire et ordonner f(x) et g (x).

2. Factoriser f (x) et g (x).

Soit la fonction rationnelle définie par h(x) = (f(x))/(g(x))

1. Déterminer la condition d’existence de h(x).

donc h existe pour 

2. Simplifier h(x).

3. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

h(x) = 0 ;

donc 

h(x) = 3

et h(x) < 0.

Exercice 9 :

 et  désignent des réels strictement positifs .

Un rectangle de dimension  et  (en centimètres) a pour aire  .

a) Exprimer  en fonction de  .

donc   (avec  ) .

b) On définit une fonction en associant à la dimension ,

l’autre dimension .

Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?

l’ensemble de déinition de cette fonction est .

Exercice 10 :

f est la fonction définie sur par  .

1- Démontrer que, pour tout nombre réel x, .

2- Résoudre graphiquement l’inéquation   .

voir le graphique……

3- Factoriser  et retrouver les solutions de l’inéquation à l’aide d’un tableau de signes.

donc

.

Exercice 11 :

Soit f  la fonction définie sur R par f(x) = 4x² + 16x + 7

1) Démontrer que f(x) = 4(x+2)²-9

2) Factoriser f(x) 

3) Choisir la forme la mieux adaptée et détailler les calcules pour calculer f(-1/2) et f( )

4) Dans le repère suivant tracer la représentation graphique de f

Voir la courbe ….

5 ) résoudre algébriquement f(x) = 0.

Effectuez les tracés sur la courbe …

Expliquer comment controler les solutions sur le graphique

cela revient à chercher les points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.

6a) résoudre algébriquement l’équation f(x) = 2x+7

Effectuer sur la courbe …

b) résoudre graphiquement la même équation

Effectuer sur la courbe …

7) quelle forme de f(x) permet d’affirmer que f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.
Démontrer alors que pour tout x de R, f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.

f(x) = 4(x+2)²-9

donc

Comment controler ce résultat sur le graphique ?

la courbe a pour ordonnée minimale – 9 .

Exercice 12 :
1. On considère les fonctions f, g , h définies sur par :

.

a. Donner l’expression algébrique de la fonction composée i=hofog .
Soit

b.
.
.

2. Décomposer les fonctions suivantes à l’aide des fonctions de référence (fonctions usuelles).

a. .

b. .

c. .

d. .

Exercice 13 :
On considère la fonction f définie sur par :

.

1. Montrer l’égalité des expressions algébriques suivantes :

2. On considère, désormais, la fonction f définie par :

a.

b. Sur f est décroissante et sur , f est croissante.

d. La valeur minimale de f est atteinte en x=3 et sa valeur est f(3)=-4.

Exercice 14 :

a. Par la fonction g, – 5 est l’image de 4.

b. 2 a pour image 0 par la fonction f.

c. Un antécédent de – 3 par h est 5.

d. Les images par f de – 3 et 5 sont nulles.

Exercice 15 :

Soient f et g deux fonctions définies sur  par :

  et  .

1. Tracer à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions

f et g.

2. Conjecturer graphiquement les solutions de l’équation  .

Ils y a deux points d’intersection pour  et 

3. Résoudre algébriquement l’équation  .

Cherchons la forme canonique.

Un produit de facteur est nul si et seulement si

l’un des facteurs, au moins, est nul.

Les racines sont .

soit  et 

Exercice 16 :

Exercice 17 :

Soit f(x) l’aire du carré AMNP et g(x) l’aire du triangle DNC

1. Exprimer f(x) en fonction de x

f(x)=x²

2. Exprimer g(x) en fonction de x

3.Représenter dans un même repère les fonctions f et g pour tout x de [0;20]

4.Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles le carré AMNP et le triangle DNC ont la même aire .

Le nombre x étant une longueur par conséquent positif.

La seule valeur pour x est x= 10 cm .

Exercice 18 :

Partie A. Lecture graphique.

1°
a) Pour trouver la hauteur de la balle après 10 secondes, on cherche le point correspondant sur le graphe. On lit environ f(10) = 37 m.

b) La balle a été lancée à une hauteur de f(0) = 15 m.

c) Non, la balle ne peut pas être lancée à 20 m car la hauteur maximale atteinte est d’environ 37 m, comme on l’a vu à la question a).

d) La balle revient au sol lorsque sa hauteur est égale à 0. On lit sur le graphe que cela se produit environ à x = 2,1 s.

e) f(3) ≈ 0 et f(0) = 15. f(3) représente la hauteur de la balle après 3 secondes, c’est-à-dire lorsqu’elle touche le sol, et f(0) représente la hauteur initiale de la balle, c’est-à-dire lorsqu’elle est lancée.

2°
a) La hauteur maximale est atteinte lorsque la dérivée de f(x) s’annule. On calcule d’abord la dérivée :
f'(x) = -10x + 10
On cherche le x tel que f'(x) = 0 :
-10x + 10 = 0
x = 1
La hauteur maximale est donc atteinte à x = 1. On lit sur le graphe que f(1) ≈ 40 m.

b) Pour trouver les instants où la hauteur est égale à 15 m, on cherche les points correspondants sur le graphe. On lit environ x = 0,3 s et x = 2,7 s.

c) Résoudre graphiquement f(x) ≥ 18 revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f est au-dessus de la droite d’équation y = 18. On trouve que f(x) ≥ 18 pour x compris entre environ 0,45 s et 2,55 s. Cela signifie que la balle se trouve à une hauteur supérieure à 18 m pendant cette période de temps.

Partie B : Calculs .

1°
b) On a déjà trouvé f(0) = 15. Pour trouver le temps de chute, on cherche le x tel que f(x) = 0. En résolvant l’équation -5x² + 10x + 15 = 0, on trouve x = 3 s. Donc la balle revient au sol après 3 s.

2°
a) Il suffit de développer l’expression (x-1)² :
f(x) = -5x² + 10x + 15
= -5(x² – 2x + 1) + 20
= 20 – 5(x-1)²
On a bien l’expression demandée.

b) En résolvant l’équation -5(x-1)² + 20 = 15, on trouve (x-1)² = 1/5, donc x-1 = ±√(1/5), donc x ≈ 1,45 s ou x ≈ 0,55 s. On retrouve le résultat de la question 1°b), qui est f(0) = 15.

3°
Comme le coefficient de x² est négatif, la fonction f est une fonction décroissante sur l’intervalle [0 ; 3]. Donc f(0) est la hauteur maximale atteinte, et on retrouve le résultat de la question A1b).

4°
f(2) = -5(2)² + 10(2) + 15 = 5
f(2/3) = -5(2/3)² + 10(2/3) + 15 = 70/9

5°
Il s’agit de résoudre l’équation -5x² + 10x + 15 = 0. On peut la résoudre comme dans la question 1°b) en utilisant la formule quadratique, ou bien en remarquant que f(x) = 0 équivaut à f(x) = f(1) = 20 – 5(x-1)² = 0, donc à (x-1)² = 4, donc à x-1 = ±2, donc x = 3 ou x = -1. Comme x ∈ [0 ; 3], la seule solution possible est x = 3.

Exercice 19 :
Soit la fonction linéaire f : x 1,2x.
a. f(5)=6 ; f(- 1,2)=-1,44 ; f(0)=0 ; f(100)=120.
b.

De même :

Exercice 20 :
Soit g la fonction linéaire telle que g 😡 – 0,4x.
a. le coefficient de la fonction g est a = -0,4
b. g(10)=-4 ; g(-5)=2 et g(1)=-0,4.

Exercice 21 :
On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.
f est-elle une fonction linéaire ?Pourquoi ?
Calculons :

donc cette fonction n’est pas linéaire.

Exercice 22 :

Exprimer la fonction linéaire f sous la forme x ax ( le nombre a est à déterminer), puis calculer f(0) ; f(1) et f( – 2).
1. Lorsque l’image de 10 est – 3 alors et
2. Lorsque f (- 100)= – 46 alors et .
3. Lorsque le coefficient de f est 2,5 alors f(x)=2,5x .

Exercice 29 :

Partie 1 :

1) La fonction  est définie sur  .

2) 

3)

Ce sont les deux antécédents de  0.

4)

5)

Partie 2 :

1) f(0) = 4 ; f(-2)=-2 ; f(2,5)=3 .

2) -1,3 ;0 et 2,6 sont des valeurs approchées des antécédents de 4 par f .

3) f ( -1) = 5  et f (1) = 1

4)   

5)  

Exercice 30 :

Exercice 32 :

Exercice 33 :

1.  est définie sur   car le dénominateur est strictement positif .

2.   Le numérateur est strictement positif ainsi que le dénominateur

donc f également en tant que quotient de nombres strictement positifs .

3. f est paire ( montrer que f(-x)=f(x) ) .

4.

5. La valeur du maximum de f sur [-1 ; 1] et sur [-2;1] est 1 .

6.

   ( car  )

Faire un tableau de signe, et montrer que  :

Exercice 34 :

Soit  définie sur  par 

1. Calculer l’image de 0, l’image de 1 et l’image de  par la fonction  .

2. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par   .

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs, au moins, est nul.

Les antécédents de 3 sont   

Exercice 35 :

 est la fonction déinifie sur  par :

.

1. Calculer l’image de 2.

2. Calculer 

3. Est-il vrai que 4 n’admet pas d’antécédent par  ?

or le carré d’un nombre est positif ou nul donc en effet 4 n’admet pas d’antécédent par f.

4. Est-il vrai que 0 admet un seul antécédent par  ?

0 admet un unique antécédent par f qui est 1.

5. Déterminer un antécédent de – 12 .

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

ainsi

-12 admet exactement deux antécédents par f qui sont 3 et -1.

Exercice 36 :

 est la fonction définie sur  par :

1. Expliquer pourquoi  n’est pas définie en  .

car pour x=-2 le dénominateur est nul donc on ne peut pas calculer l’image de -2.

2. Calculer  .

3. Déterminer l’antécédent de  .

L’antécédent de  par f est 0.

Exercice 37 :

Calucule la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.

d’après la partie directe du théorème de Thalès :

Exercice 38 :

On fabrique une boîte à partir d’une feuille de carton carrée de 18 cm de côté dont on coupe et relève les coins.
On note x la largeur de l’encoche exprimée en cm, f(x) le volume de la boîte exprimée en cm cube.

1) Donner les valeurs possibles de x.

En déduire l’ensemble de définition D de f.

2) Donner l’expression de f sur D.

3) Représenter graphiquement cette fonction.

4) A l’aide du graphique, donner la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte est maximal et établir le tableau de variations de la fonction f.

Le volume de la boîte est maximal pour x = 3cm .

5) Montrer que f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12).

et

Conclusion : 
f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12)

En déduire que f(x) est inférieur ou égal à f(3) pour tout x élément de [0;9].

Que peut-on en conclure ?

f(3) étant le maximum et f(3)=432.

Le volume maximal de la boîte est de 432 

EXERCICE 39 :

1)a) On calcule :

On peut donc écrire :

b) On calcule :

On peut donc écrire :

2) Pour f(x) = 1, on a :

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule de la discriminante :

Les racines de l’équation sont alors :


Donc il n’y a pas de réel x tel que f(x) = 1.

Pour f(2) et f(0), on calcule :


Donc les images de 2 et de 0 par f sont égales.

3) On calcule:

4) On résout l’équation f(x) = 0 :

On utilise la formule de la discriminante :

Les racines de l’équation sont alors :


Donc les antécédents de 0 sont et .

EXERCICE 40 :

1. On calcule f(3) :

Donc f(3) n’est pas égal à 1.

2. On calcule f(2) et f(0) :


On a donc f(2) = f(0) = 2.

3. On calcule :
.
L’image de par f est donc égale à .

4. On cherche les antécédents de 0 par f, c’est-à-dire les valeurs de x telles que .
On résout l’équation :
.
La seule solution est donc .
L’antécédent de 0 par f est donc .

EXERCICE 41 :

a) En lisant graphiquement, on trace une droite verticale passant par x=-1 et on cherche l’intersection avec la courbe. Cette intersection se situe à environ y=1.3. Donc l’image de -1 par f est environ 1.3.

b) En lisant graphiquement, on cherche la valeur de f(0) en lisant l’ordonnée en x=0 sur la courbe, qui est environ y=2. Donc l’image de 0 par f est environ 2.

c) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y en a deux, environ en et x=2. Donc les antécédents de 1 par f sont environ et x=2.

d) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=3 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a une seule intersection, environ en x=3. Donc l’antécédent de 3 par f est environ x=3.

EXERCICE 42 :

a) En lisant graphiquement, on trouve que g(0) est environ 0.5.

b) En lisant graphiquement, on cherche les valeurs de g(1) et g(-2) en lisant les ordonnées en x=1 et x=-2 sur la courbe. On trouve que g(1) est environ -1 et que g(-2) est environ -1.5.

c) En lisant graphiquement, pour trouver les antécédents éventuels de -1, on trace une droite horizontale passant par y=-1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a deux intersections, environ en x=-1.5 et x=2. Donc les antécédents éventuels de -1 sont environ -1.5 et 2.

Pour trouver les antécédents éventuels de 1, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

Pour trouver les antécédents éventuels de 5, on trace une droite horizontale passant par y=5 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

EXERCICE 43 :

a) En estimant sur la courbe, on peut voir que f(x)=2 a deux solutions approximativement égales à 2,5 et 6,5.

b) f(x)=0 a trois solutions approximativement égales à 1,5, 3,5 et 6.

c) f(x)=-1 a une solution approximativement égale à 5,5.

d) f(x)=1 a deux solutions approximativement égales à 1 et 5.

EXERCICE 44 :

La première courbe est une fonction paire.
La deuxième courbe n’est ni paire, ni impaire.
La troisième courbe est une fonction impaire.

EXERCICE 45 :

a) La fonction est définie pour tout x sauf pour x = 10 car le dénominateur est nul.
b) g(x) >= 0 pour tout x et le domaine de définition de g est .
c) h(x) est définie pour tout x et son domaine de définition est .
d) i(x) est définie pour tout x différent de 0 et son domaine de définition est .

EXERCICE 46 :

1. Les courbes associées aux fonctions sont la droite y = x/2 et la droite y=2x+1.
2. L’équation peut être réécrite sous forme . En résolvant cette équation, on obtient les solutions et .
3. a) .
b).
c) La parabole admet un sommet en , donc la hauteur maximale atteinte par la balle est mètres.

EXERCICE 47 :

1. La fonction n’est pas définie en 2 donc l’image de 2 ne peut pas être déterminée.
2. La fonction n’est pas définie en -2 donc la valeur de f(-2) ne peut pas être déterminée.
3. Une valeur approchée des antécédents de 5 est 0,78 et 3,22.
4. f(x) = 4 est équivalent à . En résolvant cette équation, on obtient les solutions et .
5. f(x) < 6 est équivalent à .

En résolvant cette inéquation, on obtient .
6. est équivalent à .

Cette inéquation est équivalente à ou.

On peut aussi dire que le complémentaire de l’ensemble des antécédents de 8 est l’intervalle .

EXERCICE 48 :

1) Df est l’ensemble des réels tels que x+2>0, soit .

2) On calcule :

– ;
– ;
– n’est pas défini car n’appartient pas à .

Donc, et f(-4) n’est pas défini.

3) Le ou les antécédents de 2 sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire :

⇔ ⇔ .

Donc, le seul antécédent de 2 est .

4) Le ou les antécédents de -1 sont les solutions de l’équation f(x) = -1, c’est-à-dire :

⇔ ⇔ .

Donc, le seul antécédent de -1 est -1.

5) Voici le graphique de f :

EXERCICE 49 :

a) f(x) est définie si et seulement si .

Factorisons le polynôme : .

Le polynôme est négatif entre les racines, soit sur l’intervalle ]-1 ; 3[. Donc l’ensemble de définition de f est Df = ]-∞, -1[ U ]3, +∞[.

b) Pour déterminer l’image de 0, on calcule .

Pour déterminer l’image de 2π, on calcule .

c) Pour déterminer le ou les antécédents de 2, on résout l’équation ,

soit , donc . Le seul antécédent de 2 est donc .

Pour déterminer le ou les antécédents de 0, on résout l’équation f(x) = 0 : ,

soit x-π = ∞, donc x = ∞ + π ou x = -∞ + π.

Il n’y a pas d’antécédent de 0.

d) Pour déterminer le signe de f, on étudie le signe de l’expression x-π. Si x-π > 0, alors f(x) est négatif, si x-π < 0, alors f(x) est positif. On peut résumer cela par :

– f(x) < 0 si x > π ;
– f(x) > 0 si x < π.

e) Le graphique de f est le suivant :

La courbe est une hyperbole d’asymptotes verticales x = π et x = -1, passant par le point (0,-1/4).

EXERCICE 50 :

On définit la fonction f sur ℝ par

1) L’image de par f est .

2) Pour déterminer les antécédents de 0 et , on résout respectivement les équations et :

– f(x) = 0 ⇔ .
– ⇔ ⇔ ou .

Donc, l’antécédent de 0 est √3/√2, et les antécédents de √2 sont et .

3) Pour tout réel x, on a .

Le coefficient √2 étant positif, le signe de f(x) est le même que celui de .

En utilisant la valeur de l’antécédent de 0, on peut en déduire que f(x) est négatif si et seulement si, et positif si et seulement si .

Donc, f est positive sur l’intervalle  et négative sur l’intervalle .

4) Voici le graphique de f :