Exercice 1 :

soit f la fonction définie sur   par   .

Indication : voici la courbe de cette fonction.

1. Etudier les variations de f sur .

2. Résoudre l’équation  sur l’intervalle .

On note  cette solution .

Exercice 2 :

Montrer qu’une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Effectuons un raisonnement par l’absurde.

Considérons que cette fonction f continue sur R et qui ne s’annule jamais change de signe.

soit a<b  alors imaginons le cas f(a)<0 et f(b)>0.

or comme f est continue sur R et que f(a)f(b)<0 d’après le théorème des valeurs intermédiaires

alors cela signifie qu’il existe   tel que  cela signifierait que f s’annule or ce n’est pas le cas.

Conclusion :  une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.

Exercice 3 :

Montrer que l’équation tan x = x possède une unique solution dans 

Notons  elle est définie et dérivable sur 

donc f est strictement croissante et continue sur   et change de signe sur 

donc elle s’annule une seule fois sur 

Exercice 4 :

Soit une application continue. On va montrer par récurrence que admet un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe tel que .

Pour , le théorème de la valeur intermédiaire assure que si et , alors et ou bien et (par exemple si et , alors l’image de par est contenue dans l’intervalle qui ne contient pas , ce qui contredit le fait que ). Par conséquent, il existe un tel que .

Supposons maintenant que le résultat est vrai pour tout entier inférieur ou égal à , et considérons une application continue .

Si ou , alors on a un point fixe et on a terminé.

Sinon, on peut appliquer le raisonnement précédent à la restriction de à l’intervalle ou à l’intervalle . Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe de cette restriction. Si , alors on a terminé. Sinon, on a ou , donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à la restriction de à l’intervalle ou à l’intervalle . Dans les deux cas, on obtient l’existence d’un point fixe de cette restriction, qui est aussi un point fixe de .

Exercice 5:
Soit f la fonction définie sur  par 

Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d’amplitude 0, 01.

La fonctionf est dérivable sur 

donc sur  
donc f est strictement croissante sur .

  et 
f est strictement croissante et continue et passe d’une valeur négative à une valeur positive sur 
donc
f possède une unique racine sur  d’après le théorème de bijection.

Exercice 6 :
Soit P la fonction définie sur  par 

1. Dresser le tableau de variations de P.

2. En déduire le nombre de racines de P.

P admet trois racines distinctes.

3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x)..

1 est une racine évidente
donc

Par identification des coefficients :

donc

ainsi

Conclusion : les trois racines distinctes sont .

Exercice 7 :

Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.

Soit p un polynôme de degré impair

alors  et 

de plus P est un polynôme donc continue sur R.

P passe donc d’une valeur négative à une valeur positive donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe au moins une racine réelle.

Exercice 8 :

Soit f la fonction définie sur R par 

Montrer que f possède une unique racine.

donc f est strictement croissante et continue sur R
de plus  et 
donc f passe d’une valeur égative à une valeur positive

on peut en déduire, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, que f admet une unique racine sur R.