Les équations différentielles : corrigé des exercices en terminale

Exercices de mathématiques en terminale sur les équations différentielles.

Exercice 1 :

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. $y'+5y=3\,et\,y(0)=0.$

$y'e^{5x}+5ye^{5x}=3e^{5x}$

$(ye^{5x})'=3e^{5x}$

$ye^{5x}=\frac{3}{5}e^{5x}+k\,(k\in \mathbb{R})$

$y=\frac{3}{5}e^{5x}e^{-5x}+ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})$

$y=\frac{3}{5}e^{0} +ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})$

$y=\frac{3}{5} +ke^{-5x}\,(k\in \mathbb{R})$

or nous avons y(0) = 0.

$0=\frac{3}{5} +ke^{0}\,(k\in \mathbb{R})$

$k=-\frac{3}{5} \,(k\in \mathbb{R})$

Conclusion : $y=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^{-5x}=\frac{3}{5}(1-e^{-5x})$

Exercice 2 :
Soit (E) l’équation différentielle $y'-2y=e^x$ et $(E_0)\,\,y'-2y=0.$

1. Vérifier que la fonction définie par $u_0(x)=-e^x$ est solution de (E) .

$(-e^x)'-2(-e^x)=-e^x+2e^x=e^x$

donc $u_0$ est solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (Eo) .

$y'-2y=0$

$y'e^{-2x}-2ye^{-2x}=0$

$(ye^{-2x})'=0$

$ye^{-2x}=k\,(k\in\mathbb{R})$

$y=ke^{2x}\,(k\in\mathbb{R})$

3. Montrer que u est solution de (E) $\Leftrightarrow u-u_0$ est solution de (Eo) .

à montrer……

4. En déduire les solutions de (E) .

Les solutions de (E) sont du type : $y=-e^x+ke^{2x}\,(k\in\mathbb{R})$

5. Déterminer la solution f de (E) qui s’annule en 1 .

$y(1)=0\Leftrightarrow -e^0+ke^{0}=1$

$y(1)=0\Leftrightarrow -1+k=1$

$y(1)=0\Leftrightarrow k=2$

donc

${\color{DarkRed} y=-e^x+2e^{2x} }$

Exercice 3 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .

$2y'+y=1$

Divisons par 2 chaque membre de cette équation.

$y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$

$y'e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}y=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

$\left (ye^{\frac{1}{2}x} \right )'=\left (e^{\frac{1}{2}x} \right )'$

$ye^{\frac{1}{2}x} =e^{\frac{1}{2}x}+k\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{0}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

or nous avons $y (1)=2$

$2=1+ke^{-\frac{1}{2}\times 1}$

$ke^{-\frac{1}{2}}=1$

$k=1e^{\frac{1}{2}}$

${\color{DarkRed} k=e^{\frac{1}{2}}}$

Conclusion :

$y =1+e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

${\color{DarkRed} y =1+e^{\frac{1}{2}\left (1-x \right )}\,(k\in\mathbb{R}})$

Exercice 4 :
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .

$2y'+y=1$

Divisons par 2 chaque membre de cette équation.

$y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$

$y'e^{\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}y=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

$\left (ye^{\frac{1}{2}x} \right )'=\left (e^{\frac{1}{2}x} \right )'$

$ye^{\frac{1}{2}x} =e^{\frac{1}{2}x}+k\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =e^{0}+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+ke^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

or nous avons $y (1)=2$

$2=1+ke^{-\frac{1}{2}\times 1}$

$ke^{-\frac{1}{2}}=1$

$k=1e^{\frac{1}{2}}$

${\color{DarkRed} k=e^{\frac{1}{2}}}$

Conclusion :

$y =1+e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

$y =1+e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}\,(k\in\mathbb{R})$

${\color{DarkRed} y =1+e^{\frac{1}{2}\left (1-x \right )}\,(k\in\mathbb{R}})$

Exercice 5 :

1. Résoudre l’équation différentielle(E) : y ‘ = – 2y .
$y'+2y=0$

$y'e^{2x}+2e^{2x}y=0$

$\left (ye^{2x} \right )'=0$

$ye^{2x} =k\,(k\in\mathbb{R})$

$y=ke^{-2x} \,(k\in\mathbb{R})$

2. En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d’abscisse 0,
une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 4x + 1.

cela signifie que y'(0)= – 4

$y'(0)=-2ke^{-2\times 0} =-4\,(k\in\mathbb{R})$

$-2k=-4$

$k=\frac{-4}{-2}=2$

Conclusion : ${\color{DarkBlue} y=2e^{-2x}}$

Exercice 6 :

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y ‘ = 3y .
$y'-3y=0$

$y'e^{-3x}-3ye^{-3x}=0$

$\left (ye^{-3x}\right )'=0$

Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que :

$ye^{-3x}=k$

${\color{DarkRed} y=ke^{3x}}$

2. Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (2; 3).

$3=ke^{3\times 2}$

$3=ke^{6}$

${\color{DarkRed} k=3e^{-6}}$

Conclusion : la solution est $y=3e^{-6}e^{3x}={\color{DarkRed} 3e^{3x-6}}$

Exercice 7 :

1. L’équation différentielle donnée est $y' = 3y$ .

C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, homogène. On peut donc chercher une solution de la forme $y(t) = Ce^{rt}$ , avec $C$ et $r$ à déterminer.

En substituant cette forme dans l’équation différentielle, on a
$Ce^{rt}' = 3Ce^{rt}.$
En dérivant le terme de gauche, on obtient
$rCe^{rt} = 3Ce^{rt}.$
Comme $Ce^{rt}$ est différent de zéro, on peut diviser des deux côtés par $Ce^{rt}$ , ce qui donne $r = 3$ . Ainsi, toutes les solutions de l’équation différentielle sont de la forme $y(t) = Ce^{3t}$ , où $C$ est une constante.

2. Pour déterminer la solution de l’équation différentielle (E) qui passe par le point $(2,3)$ , on utilise la condition initiale $y(2) = 3$ . On a donc

3 = Ce^{3\cdot 2} = 9C,

ce qui donne $C=\frac{1}{3}$ . Ainsi, la solution de (E) qui passe par le point $(2,3)$ est donnée par $y(t) = \frac{1}{3}e^{3t}$ .

Exercice 8 :

1.Résoudre sur $\mathbb{R}$ chacune des équations différentielles suivantes :

$y'=y\\4y'+y=0\\y'-3y=2$

2.On considère l’équation différentielle : $(E):y'=2y+1)$ .

Déterminer la solution de (E) sur $\mathbb{R}$ dont la courbe passe par le point A(0;3) dans un repère du plan.

Exercice 9 :

On considère l’équation différentielle $y'-2y=e^{2x} (E)$ .

1. Démontrer que la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=xe^{2x}$ est une solution de (E) .

2. Résoudre l’équation différentielle $y'-2y=0 \,\,(E_0)$ .

3. Démontrer qu’une fonction v définie sur $\mathbb{R}$ est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de $(E_0)$ .

4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E) .

5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0 .

6. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j}).$

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{2x}$ .

On note C la courbe représentative de f dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j}).$

a. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation .

b. Tracer C .

Exercice 10 :
On désigne par q(t) la température (exprimée en degré Celsius) d’un corps à l’instant t (exprimé en heure).

A l’instant t = 0 , ce corps dont la température est de 100 °C est placé dans une salle à 20 °C.

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement q ‘ (t) est
proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

On suppose que le coefficient de refroidissement est – 2, 08 .

1. Justifier que q ‘ (t) = – 2 , 08q(t) + 41,6 .

q ‘ (t) est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $q'(t)=k(q(t)-20)$