I. Divisibilité.
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b
on note alors b/a .
Exemple :
donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.
II. Propriétés.
Soient .
III. Définition.
Un entier est dit premier s’il n’admet dans
aucun autre diviseur que lui-même et 1 .
Ensemble des nombres premiers
L’ensemble des nombres premiers, noté est un ensemble infini.
.
IV. Théorème fondamental de l’arithmétique.
1. Décomposition en facteurs premiers.
Soit .L’entier n se décompose de manière unique, à l’ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.
.
2. Division euclidienne.
Soient a et b deux entiers relatifs tels que alors Il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que :
Remarque :
Que l’on soit dans ou
, le reste r est toujours positif ou nul.
3. Congruences.
On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Si c’est le cas, on note .
Exemple :
18=5×3+3 et 27=8×3+3.
18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3
donc
4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :
a. Definition du pgcd(a,b)
Soient a et b deux entiers relatifs.L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).
On note aussi a^b.
b. Propriétés du pgcd(a,b)
Soit k un entier non nul.
Si k divise a et b alors :
Remarque :
On peut déterminer le de trois manières :
- par décomposition des deux nombres ;
- par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul étant le pgcd(a,b) (théorème d’Euclide);
- par le théorème de Bézout (voir plus loin….)
c. Définition du ppcm(a, b).
Soient a et b deux entiers relatifs.
L’ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément nommé le ppcm(a,b).
On note aussi : a v b .
Soient
V. Théorème de Bézout :
Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :
Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .
VI. Théorème de Gauss:
Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c
Exemple :
5 divise
or 5 est premier avec 7
donc d’après le théorème de Gauss 5 divise 10.